نگاشت کج ساز (Baker‘s Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت کج ساز (Baker‘s Map) :

نگاشت کج ساز (baker's map) یک نگاشت دوبعدی روی مربع

\[ [0,1]\times[0,1] \]

(یا روی چنبره) است که به عنوان یک مدل ساده برای فرآیند مخلوط کردن (mixing) در دینامیک سیالات (مانند ورز دادن خمیر) معرفی شد. این نگاشت یک نمونه ی کلاسیک از یک سیستم آشوبناک با حفظ مساحت (area-preserving) و اختلاط قوی است.

یک نسخه ی ساده از نگاشت کج ساز به صورت زیر تعریف می شود:

\[ B(x,y) = \begin{cases} (2x, y/2) & 0 \le x < 1/2 \\ (2x-1, (y+1)/2) & 1/2 \le x \le 1 \end{cases} \]

این نگاشت مربع را در جهت

\[ x \]

دو برابر کشیده و در جهت

\[ y \]

نصف می کند و سپس نیمه ی راست را روی نیمه ی چپ تا می کند (شبیه ورز دادن خمیر).

نگاشت کج ساز یک نگاشت مختلط کننده و برنولی است و با جابجایی روی دنباله های دودویی دوطرفه مزدوج می باشد. این نگاشت دارای آنتروپی مثبت (

\[ \ln 2 \]

) و نقاط تناوبی چگال است.

در فیزیک آماری، از این نگاشت برای مطالعه ی خواص ارگودیک و اختلاط در سیستم های دینامیکی استفاده می شود. همچنین در نظریه ی اطلاعات و کدینگ کاربرد دارد.

نسخه های دیگری از نگاشت کج ساز مانند نگاشت کج ساز معکوس پذیر (invertible baker's map) روی چنبره نیز وجود دارند.

\[ B(x,y) = \begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) & x \in [0,1/2) \\ (2x-1, \frac{y+1}{2}) & x \in [1/2,1] \end{cases} \]

✏️ مثال: نقطه ی

\[ (0.3,0.7) \]

به

\[ (0.6,0.35) \]

می رود. نقطه ی

\[ (0.6,0.8) \]

به

\[ (0.2,0.9) \]

می رود (چون

\[ 0.6\ge 0.5 \]

). با تکرار، نقطه در مربع پخش می شود.