نگاشت مربع ساز (Doubling Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مربع ساز (Doubling Map) :

نگاشت مربع ساز (doubling map) یک نگاشت یک بعدی روی بازه

\[ [0,1) \]

(یا روی دایره) است که به صورت

\[ f(x) = 2x \mod 1 \]

تعریف می شود. این نگاشت یک نمونه ی کلاسیک از یک سیستم دینامیکی آشوبناک است و با نگاشت جابجایی روی دنباله های دودویی مزدوج می باشد.

اگر

\[ x \]

را به صورت دودویی نمایش دهیم:

\[ x = 0.b_1b_2b_3\ldots \]

(در مبنای ۲)، آن گاه

\[ f(x) = 0.b_2b_3b_4\ldots \]

. بنابراین، نگاشت مربع ساز معادل جابجایی به چپ روی دنباله ی بیت هاست. این ارتباط، تحلیل آن را ساده می کند.

این نگاشت دارای خواص زیر است: دارای نقاط تناوبی چگال (اعداد گویا با مخرج توانی از ۲)، حساسیت به شرایط اولیه (تفاوت در اولین بیت باعث تفاوت در مسیر می شود)، و اختلاط قوی (با اندازه ی لبگ). نمای لیاپانوف آن برابر

\[ \ln 2 \]

(مثبت) است.

نگاشت مربع ساز در نظریه ی ارگودیک، دینامیک نمادین، و به عنوان یک مثال آموزشی در درس های آشوب استفاده می شود. همچنین در نظریه ی اطلاعات و تولید اعداد تصادفی کاربرد دارد.

تعمیم آن به

\[ f(x)=mx \mod 1 \]

(نگاشت اتساعی) نیز بررسی می شود.

\[ f(x) = 2x \mod 1 \quad,\quad x \in [0,1) \]

✏️ مثال:

\[ f(0.3)=0.6 \]

،

\[ f(0.6)=0.2 \]

(چون

\[ 1.2 \mod 1 = 0.2 \]

).

\[ f(0.2)=0.4 \]

،

\[ f(0.4)=0.8 \]

،

\[ f(0.8)=0.6 \]

. نقطه ی

\[ 0.3 \]

به یک مدار تناوبی با دوره ۴ می رود.