نگاشت پیمانه ای (Modular Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پیمانه ای (Modular Map) :
این مورد مشابه مورد ۱۳۷ است و ممکن است تداخل داشته باشد. اما برای پرهیز از تکرار، می توان به زمینه های دیگر اشاره کرد. در نظریه ی اعداد و هندسه، یک نگاشت پیمانه ای (modular map) می تواند به نگاشت های نیم صفحه ی بالایی
\[ \mathbb{H} \]به خودش تحت عمل گروه مدولار
\[ SL(2,\mathbb{Z}) \]اشاره داشته باشد. این نگاشت ها به صورت
\[ z\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \]با
\[ a,b,c,d\in\mathbb{Z} \]و
\[ ad-bc=1 \]تعریف می شوند.
این تبدیل ها (تبدیلات موبیوس با ضرایب صحیح) خودریختی های (automorphisms) نیم صفحه ی بالایی هستند و در نظریه ی توابع مدولار (modular functions) و فرم های مدولار (modular forms) نقش اساسی دارند. آن ها یک نمایش از گروه
\[ SL(2,\mathbb{Z}) \]روی فضای توابع هولومورفیک القا می کنند.
گروه مدولار توسط دو مولد
\[ S: z\mapsto -1/z \]و
\[ T: z\mapsto z+1 \]تولید می شود. این تبدیل ها در مطالعه ی هندسه هذلولوی، نظریه ی اعداد (توابع تتا)، و نظریه ی ریسمان (دوالیتی مدولار) اهمیت دارند.
نگاشت پیمانه ای همچنین می تواند به جریان مدولار (modular flow) در دینامیک روی سطوح هذلولوی اشاره داشته باشد.
\[ \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{Z}) \quad,\quad \gamma(z) = \frac{az+b}{cz+d} \]✏️ مثال:
\[ S(z) = -1/z \]،
\[ T(z) = z+1 \]. این دو نگاشت گروه مدولار را تولید می کنند.
