نگاشت حداقل گر (Minimal Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت حداقل گر (Minimal Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، یک سیستم دینامیکی (یا یک نگاشت) روی یک فضای توپولوژیکی فشرده
\[ X \]حداقل گر (minimal) نامیده می شود اگر هیچ زیرمجموعه ی بسته، ناوردا و غیربدیهی (به جز تهی و کل فضا) وجود نداشته باشد. به عبارت دیگر، مدار هر نقطه در
\[ X \]چگال (dense) است. این قوی ترین نوع ناوردایی است.
مثال کلاسیک: چرخش
\[ R_\alpha \]روی دایره
\[ S^1 \]با
\[ \alpha \]گنگ، یک سیستم حداقل گر است (زیرا مدار هر نقطه روی دایره چگال است). همچنین جابجایی روی فضای دنباله های دودویی با توپولوژی مناسب، حداقل گر نیست (چون زیرمجموعه های ناوردا مانند زیرشیفت ها وجود دارند).
در دینامیک توپولوژیکی، سیستم های حداقل گر اهمیت زیادی دارند و با مفاهیمی مانند ناهمگنی (recurrence) و پایداری مرتبط هستند. هر سیستم دینامیکی روی یک فضای فشرده دارای یک زیرمجموعه ی ناوردای حداقل گر (minimal set) است (قضیه ی بیرکهوف).
نگاشت های حداقل گر می توانند بسیار پیچیده باشند. برای مثال، یک دی فئومورفیسم روی چنبره ی با بعد بالاتر می تواند حداقل گر باشد. در دینامیک مختلط، برخی از نگاشت های چندجمله ای روی مرز مجموعه ی ژولیا رفتار حداقل گر دارند.
در فیزیک، سیستم های حداقل گر با رفتارهای شبه تناوبی (quasiperiodic) مرتبط هستند.
\[ \forall x\in X, \overline{\{f^n(x): n\in\mathbb{N}\}} = X \]✏️ مثال:
\[ R_\alpha \]روی
\[ S^1 \]با
\[ \alpha \]گنگ، حداقل گر است. چرخش با
\[ \alpha \]گویا، حداقل گر نیست (چون نقاط تناوبی هستند و مدار متناهی است).
