نگاشت مختلط کننده (Mixing Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت مختلط کننده (Mixing Map) :
در نظریه ی ارگودیک و سیستم های دینامیکی، یک نگاشت مختلط کننده (mixing map) (یا سیستم مختلط کننده) به نگاشتی
\[ f:X\to X \]با یک اندازه ی ناوردا
\[ \mu \]گفته می شود که برای هر دو مجموعه ی قابل اندازه گیری
\[ A,B\subset X \]،
\[ \lim_{n\to\infty} \mu(f^{-n}(A) \cap B) = \mu(A)\mu(B) \]این خاصیت، نوعی استقلال آماری بین گذشته و آینده را بیان می کند و قوی تر از خاصیت ارگودیک (ergodicity) است.
مثال های مهم: نگاشت جابجایی (shift map) روی فضای دنباله های دوسویه با اندازه ی یکنواخت برنولی (Bernoulli measure) مختلط کننده (و حتی برنولی) است. دی فئومورفیسم های آنوسوف نیز مختلط کننده هستند.
اختلاط (mixing) در سیستم های دینامیکی با مفهوم همبستگی (correlation) و فروپاشی همبستگی ها (decay of correlations) مرتبط است. سیستم های مختلط کننده در فیزیک آماری برای توصیف سیستم هایی که به تعادل گرمایی می رسند، به کار می روند.
مراتب مختلفی از اختلاط وجود دارد: اختلاط ضعیف (weak mixing)، اختلاط قوی (strong mixing)، و اختلاط برنولی (Bernoulli). اختلاط برنولی قوی ترین نوع است و با خاصیت برنولی (isomorphic to a Bernoulli shift) مرتبط است.
\[ \lim_{n\to\infty} \mu(f^{-n}(A) \cap B) = \mu(A)\mu(B) \quad \forall A,B \]✏️ مثال: نگاشت مربع ساز
\[ x\mapsto 2x \mod 1 \]با اندازه ی لبگ روی
\[ [0,1] \]مختلط کننده (و در واقع برنولی) است. چرخش
\[ R_\alpha \]با
\[ \alpha \]گنگ، ارگودیک است اما مختلط کننده نیست.
