نگاشت اتساعی (Expansive Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت اتساعی (Expansive Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، یک نگاشت اتساعی (expansive map) روی یک فضای متری (معمولا فشرده) مانند
\[ X \]، نگاشتی
\[ f:X\to X \]است که یک ثابت اتساع
\[ \epsilon>0 \]وجود داشته باشد به طوری که برای هر
\[ x\neq y \]، یک
\[ n\in\mathbb{Z} \](یا
\[ \mathbb{N} \]اگر
\[ f \]معکوس پذیر نباشد) وجود دارد که
\[ d(f^n(x), f^n(y)) > \epsilon \]. به عبارت دیگر، نقاط متمایز تحت تکرار
\[ f \]حداقل به اندازه ی
\[ \epsilon \]از هم دور می شوند.
این خاصیت بیان می کند که نگاشت، نقاط نزدیک را از هم جدا می کند و یک نوع حساسیت به شرایط اولیه است، اما قوی تر از آشوب معمولی. هر دی فئومورفیسم آنوسوف روی یک منیفلد فشرده، اتساعی است. همچنین نگاشت جابجایی روی فضای دنباله های دودویی (با متریک مناسب) اتساعی است.
در توپولوژی و دینامیک، مطالعه ی نگاشت های اتساعی به نظریه ی سیستم های هذلولوی و پایداری ساختاری مرتبط است. قضایایی در مورد ساختار این نگاشت ها و رابطه شان با دینامیک نمادین وجود دارد.
نگاشت های اتساعی روی فضاهای فشرده، دارای نقاط تناوبی چگال و آنتروپی مثبت هستند (تحت شرایط خاص).
در فیزیک، این نگاشت ها مدل هایی برای سیستم های با حساسیت بالا به شرایط اولیه (آشوب) هستند.
\[ \exists \epsilon>0: \forall x\neq y, \exists n\in\mathbb{N}: d(f^n(x), f^n(y)) > \epsilon \]✏️ مثال: نگاشت مربع ساز
\[ f(x)=2x \mod 1 \]روی
\[ [0,1] \](با متریک معمولی) اتساعی نیست (چرا؟ زیرا نقاطی مانند
\[ 0.5 \]و
\[ 0.75 \]ممکن است همیشه نزدیک نباشند؟ باید تعریف را بررسی کرد). در واقع
\[ f(x)=2x \mod 1 \]روی
\[ [0,1] \]با متریک سگمنت شده اتساعی است؟ نیاز به متریک مناسب دارد. مثال بهتر: نگاشت جابجایی روی فضای دنباله ها با متریک
\[ d(x,y)=2^{-n} \]که
\[ n \]اولین جای اختلاف است، اتساعی است.
