نگاشت ادغامی (Anosov Diffeomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت ادغامی (Anosov Diffeomorphism) :
یک دی فئومورفیسم آنوسوف (Anosov diffeomorphism) یک دی فئومورفیسم هموار
\[ f:M\to M \]روی یک منیفلد فشرده
\[ M \]است که در آن فضای مماس در هر نقطه به دو زیرفضای ناوردا (پایدار و ناپایدار) تجزیه می شود به طوری که
\[ f \]روی زیرفضای ناپایدار به طور یکنواخت کشنده (expanding) و روی زیرفضای پایدار به طور یکنواخت جمع شونده (contracting) عمل می کند. این مفهوم توسط دمیتری آنوسوف (Dmitri Anosov) معرفی شد.
معروف ترین مثال، نگاشت آرنولد (گربه ی آرنولد) روی چنبره
\[ \mathbb{T}^2 \]است. ماتریس
\[ A\in SL(2,\mathbb{Z}) \]با مقادیر ویژه ی با قدر مطلق مخالف ۱ (یکی بزرگتر از ۱ و دیگری کوچکتر از ۱) یک دی فئومورفیسم آنوسوف روی چنبره تعریف می کند. این نگاشت ها رفتار آشوبناک قوی (اختلاط، چگال بودن نقاط تناوبی) دارند و در نظریه ی ارگودیک و سیستم های دینامیکی هذلولوی (hyperbolic dynamics) اهمیت دارند.
دی فئومورفیسم های آنوسوف دارای خواص مهمی هستند: آن ها ساختار پایداری قوی (structural stability) دارند، یعنی هر دی فئومورفیسم نزدیک به آن، با آن مزدوج (conjugate) است. همچنین آن ها دارای اندازه های ناوردای زیادی هستند (از جمله اندازه ی سینایی (Sinai measure)).
این نگاشت ها در مطالعه ی دینامیک نمادین، نظریه ی ارگودیک، و فیزیک آماری (به عنوان مدل هایی برای آشوب قوی) استفاده می شوند.
\[ T_pM = E^s_p \oplus E^u_p \quad,\quad \|df^n(v)\| \le C\lambda^n \|v\| \ (v\in E^s) \quad,\quad \|df^{-n}(v)\| \le C\lambda^n \|v\| \ (v\in E^u) \]✏️ مثال: نگاشت آرنولد
\[ \Gamma(x,y) = (2x+y, x+y) \mod 1 \]روی
\[ \mathbb{T}^2 \]یک دی فئومورفیسم آنوسوف است.
