نگاشت گاوس (در نظریه اعداد) (Gauss Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت گاوس (در نظریه اعداد) (Gauss Map) :
در نظریه ی اعداد، نگاشت گاوس (Gauss map) که به نام کسر مسلسل (continued fraction) گاوس نیز شناخته می شود، یک نگاشت از بازه
\[ [0,1) \]به خودش است که به صورت
\[ T(x) = \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \]برای
\[ x\neq 0 \]و
\[ T(0)=0 \]تعریف می شود. این نگاشت با الگوریتم کسر مسلسل مرتبط است.
اگر
\[ x = [0;a_1,a_2,a_3,\dots] \]نمایش کسر مسلسل
\[ x \]باشد، آن گاه
\[ T(x) = [0;a_2,a_3,\dots] \]و
\[ a_1 = \lfloor 1/x \rfloor \]. بنابراین، تکرار نگاشت گاوس، ارقام کسر مسلسل را یکی یکی حذف می کند. این نگاشت نقش اساسی در نظریه ی کسرهای مسلسل و خواص دیوفانتینی اعداد دارد.
نگاشت گاوس یک سیستم دینامیکی با اندازه ی ناوردای گاوس (Gauss measure)
\[ \mu(A) = \frac{1}{\ln 2} \int_A \frac{dx}{1+x} \]است. این اندازه یک اندازه ی احتمالی ناوردا و ارگودیک برای
\[ T \]است. آنتروپی متریک این نگاشت
\[ \pi^2/(6\ln 2) \]است.
در نظریه ی اعداد، از این نگاشت برای مطالعه ی توزیع ارقام کسر مسلسل و قضایای متریک در کسرهای مسلسل (مانند قضیه ی خینچین (Khinchin)) استفاده می شود. همچنین در فیزیک آماری و نظریه ی ارگودیک کاربرد دارد.
\[ T(x) = \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \quad,\quad x \in (0,1) \]✏️ مثال:
\[ x=0.7 \]،
\[ 1/x \approx 1.428 \]،
\[ \lfloor 1/x \rfloor = 1 \]،
\[ T(x)=0.428 \].
\[ x=0.428 \]،
\[ 1/x\approx 2.336 \]،
\[ T(x)=0.336 \]. این ارقام با کسر مسلسل
\[ [0;1,2,?] \]مطابقت دارد.
