نگاشت دایره (Circle Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت دایره (Circle Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت دایره (circle map) یک نگاشت از دایره
\[ S^1 \]به خودش است. این نگاشت ها معمولا به صورت
\[ f(\theta) = \theta + \omega + \frac{K}{2\pi} \sin(2\pi\theta) \pmod{1} \](پس از نرمال سازی به بازه
\[ [0,1) \]) نمایش داده می شوند. این نگاشت در مطالعه ی نوسانگرهای جفت شده و پدیده ی قفل شدگی فرکانس (frequency locking) اهمیت دارد.
ساده ترین نوع نگاشت دایره، چرخش خالص
\[ R_\alpha(\theta)=\theta+\alpha \mod 1 \]است که پیش تر بررسی شد. نگاشت دایره با پارامتر غیرخطی
\[ K \]، مانند نگاشت استاندارد (standard map)، رفتارهای پیچیده تری از جمله نواحی آرنولد (Arnold tongues) را نشان می دهد که در آن ها قفل شدگی فرکانس رخ می دهد.
عدد چرخش (rotation number) برای یک نگاشت دایره، نرخ متوسط چرخش را اندازه می گیرد و برای مطالعه ی دینامیک و انشعاب ها استفاده می شود. اگر عدد چرخش گویا باشد، نقاط تناوبی وجود دارند؛ اگر گنگ باشد، دینامیک کمابیش تناوبی (quasiperiodic) است.
نگاشت دایره در فیزیک برای مدل سازی نوسانگرهای غیرخطی، مدارهای الکتریکی، و سیستم های زیستی (مانند ضربان قلب) استفاده می شود. همچنین در نظریه ی هرش (Hirsch) و دینامیک جمعیت کاربرد دارد.
\[ f(\theta) = \theta + \omega + \frac{K}{2\pi} \sin(2\pi\theta) \pmod{1} \]✏️ مثال:
\[ f(\theta)=\theta+0.3 \mod 1 \]یک چرخش خالص است. با
\[ K=0.5 \]، قفل شدگی فرکانس در فواصل مشخصی از
\[ \omega \]رخ می دهد.
