نگاشت مانده یاب (Sawtooth Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مانده یاب (Sawtooth Map) :

نگاشت مانده یاب (sawtooth map) که به نام نگاشت دندان اره ای نیز شناخته می شود، یک نگاشت یک بعدی آشوبناک روی بازه

\[ [0,1] \]

است که به صورت

\[ f(x) = \beta x \mod 1 \]

تعریف می شود. این نگاشت یک نگاشت خطی قطعه ای (piecewise linear) با شیب ثابت

\[ \beta \]

(معمولا

\[ \beta > 1 \]

) است. نام آن از شکل نمودار (شبیه دندانه های اره) گرفته شده است.

برای

\[ \beta \]

صحیح (مثلا

\[ \beta=2 \]

)، این نگاشت با نگاشت جابجایی روی دنباله های دودویی مزدوج است. برای

\[ \beta>1 \]

، این نگاشت دارای نمای لیاپانوف مثبت (

\[ \ln \beta \]

) است و رفتار آشوبناک دارد. این نگاشت یک نمونه ی ساده از یک سیستم دینامیکی با اختلاط (mixing) و حساسیت به شرایط اولیه است.

نگاشت مانده یاب در نظریه ی ارگودیک، دینامیک نمادین، و مطالعه ی آنتروپی به عنوان یک مثال اساسی استفاده می شود. همچنین در فیزیک، برای مدل سازی سیستم های با برخورد (مانند توپ روی میز ارتجاعی) به کار می رود.

یک تعمیم دوبعدی آن، نگاشت بیکر (baker's map) است که به عنوان یک مثال از یک سیستم آشوبناک با حفظ مساحت شناخته می شود.

در پردازش سیگنال، این نگاشت برای تولید دنباله های شبه تصادفی استفاده می شود.

\[ f(x) = \beta x \mod 1 \quad,\quad \beta > 1 \]

✏️ مثال:

\[ f(x)=2x \mod 1 \]

(نگاشت دوتایی ساز (doubling map)).

\[ f(0.3)=0.6 \]

،

\[ f(0.6)=0.2 \]

. این نگاشت با نمایش دودویی

\[ x \]

، یک جابجایی به چپ است.