نگاشت هنون (Hénon Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هنون (Hénon Map) :

نگاشت هنون (Hénon map) یک سیستم دینامیکی گسسته دوبعدی است که توسط میشل هنون (Michel Hénon) به عنوان یک مدل ساده برای جاذب عجیب (strange attractor) در سیستم های پیوسته (مانند جاذب لورنتس) معرفی شد. این نگاشت به صورت زیر تعریف می شود:

\[ \begin{cases} x_{n+1} = 1 - a x_n^2 + y_n \\ y_{n+1} = b x_n \end{cases} \]

که در آن

\[ a \]

و

\[ b \]

پارامترهایی هستند (معمولا

\[ a=1.4 \]

و

\[ b=0.3 \]

).

نگاشت هنون یک نگاشت غیرخطی و غیر-یکنواخت است که برای مقادیر پارامتر ذکر شده، یک جاذب عجیب (فرکتالی) از خود نشان می دهد. این جاذب دارای ساختاری شبیه به یک نوار خمیده با ضخامت بسیار کم است و بعد فرکتالی آن حدود

\[ 1.26 \]

است.

این نگاشت یک دی فئومورفیسم از صفحه به خودش نیست (چون معکوس پذیر نیست مگر با

\[ b\neq 0 \]

). با

\[ b\neq 0 \]

، این نگاشت یک دی فئومورفیسم (معکوس پذیر) است و دترمینان ماتریس ژاکوبی آن برابر

\[ -b \]

است (ثابت)، بنابراین مساحت را با یک عامل ثابت کاهش می دهد.

نگاشت هنون در مطالعه ی دینامیک غیرخطی، نظریه ی آشوب، و جاذب های عجیب به عنوان یک مثال کلاسیک و ساده استفاده می شود. تحلیل آن شامل مطالعه ی نقاط ثابت، انشعاب ها، و آنتروپی است.

در فیزیک، از این نگاشت برای مدل سازی سیستم های دینامیکی با اتلاف (dissipative systems) استفاده می شود.

\[ (x_{n+1}, y_{n+1}) = (1 - a x_n^2 + y_n, b x_n) \]

✏️ مثال: برای

\[ a=1.4 \]

,

\[ b=0.3 \]

، یک جاذب عجیب با ساختار فرکتالی به وجود می آید. نقطه ی

\[ (0,0) \]

پس از چند تکرار به جاذب جذب می شود.