نگاشت آرنولد (Arnold Map / Cat Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت آرنولد (Arnold Map / Cat Map) :
نگاشت آرنولد (Arnold map) یا نگاشت گربه ی آرنولد (Arnold's cat map) یک نگاشت دوبعدی روی چنبره (torus)
\[ \mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 \]است که توسط ولادیمیر آرنولد (Vladimir Arnold) با استفاده از تصویر یک گربه معرفی شد. این نگاشت به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \Gamma: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2 \quad,\quad \Gamma(x,y) = (2x+y, x+y) \mod 1 \]یا به طور کلی با یک ماتریس
\[ 2\times 2 \]با دترمینان ۱ و درایه های صحیح.
این نگاشت یک خودریختی (automorphism) از چنبره (یک آنوسوف دی فئومورفیسم (Anosov diffeomorphism)) است. این نگاشت دوسویه (bijective) و حفظ مساحت (area-preserving) است (دترمینان ماتریس ۱). دارای نقاط تناوبی چگال (dense periodic points) و رفتار آشوبناک (وابستگی حساس به شرایط اولیه) است.
ماتریس متناظر با این نگاشت،
\[ \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \]، دارای مقادیر ویژه ی
\[ \lambda = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \](یکی بزرگتر از ۱ و دیگری کوچکتر از ۱) است. جهت های ویژه، جهت های کشیدگی (unstable) و فشردگی (stable) را مشخص می کنند.
نگاشت آرنولد در نظریه ی ارگودیک، دینامیک نمادین، و فیزیک آماری به عنوان یک مثال کلاسیک از یک سیستم آشوبناک با اختلاط قوی (strong mixing) استفاده می شود. تصویر معروف آن (گربه ی آرنولد) نشان می دهد که چگونه یک تصویر تحت تکرار این نگاشت به طور یکنواخت روی چنبره پخش می شود.
\[ \Gamma(x,y) = (2x+y, x+y) \mod 1 \quad,\quad \Gamma^n \text{ با ماتریس } \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} \]✏️ مثال: نقطه ی
\[ (0.2,0.3) \]به
\[ (2*0.2+0.3=0.7, 0.2+0.3=0.5) = (0.7,0.5) \](چون اعداد در
\[ [0,1) \]هستند). تکرار این نگاشت، نقطه را به طور یکنواخت روی چنبره پخش می کند.
