نگاشت نعل اسبی (Horseshoe Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت نعل اسبی (Horseshoe Map) :
نگاشت نعل اسبی (horseshoe map) یک نگاشت دوبعدی است که توسط استیو اسمیل (Steve Smale) برای نشان دادن وجود دینامیک آشوبناک در سیستم های دینامیکی پیوسته (مانند نوسانگر ون در پل) معرفی شد. این نگاشت یک مربع را به شکل نعل اسب درآورده و آن را روی خودش قرار می دهد.
به طور دقیق، یک مربع را در نظر بگیرید. ابتدا آن را در یک جهت فشرده و در جهت دیگر کشیده می شود (مانند یک نوار باریک). سپس این نوار خم شده و به شکل نعل اسب روی مربع اصلی قرار می گیرد. با تکرار این فرآیند، مجموعه ای با ساختار فرکتالی (مجموعه ی نعل اسب) به وجود می آید که دارای بینهایت نقطه ی تناوبی و رفتار آشوبناک است.
نگاشت نعل اسبی یک مثال کلیدی از یک سیستم دینامیکی با جاذب های عجیب (strange attractors) و وابستگی حساس به شرایط اولیه است. دینامیک آن با دینامیک نمادین روی دو نماد (چپ و راست) قابل توصیف است و با نگاشت جابجایی روی دنباله های دودویی مزدوج می باشد.
این نگاشت نقش اساسی در اثبات قضایای بنیادی در نظریه ی سیستم های دینامیکی، مانند قضیه ی اسمیل-بیرکهوف (Smale-Birkhoff homoclinic theorem) دارد که وجود نقاط هموکلینیک (homoclinic points) را به وجود نعل اسب مرتبط می کند.
در فیزیک، نگاشت نعل اسبی برای مطالعه ی دینامیک مولکولی، سیستم های همیلتونی آشوبناک، و مخلوط شدن (mixing) در سیالات استفاده می شود.
\[ f(x,y) = \left( \lambda x, \mu y \right) \text{ (کشیدگی)} \quad \text{سپس خم کردن} \]✏️ مثال: یک نمایش ساده:
\[ f(x,y) = (2x \mod 1, \frac{y + \lfloor 2x \rfloor}{2}) \]که روی مربع
\[ [0,1]^2 \]تعریف می شود (نعل اسب بیکر (baker's map) یک نوع آن است).
