نگاشت لجستیک (Logistic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت لجستیک (Logistic Map) :

نگاشت لجستیک (logistic map) یکی از معروف ترین نمونه های سیستم های دینامیکی گسسته است که رفتار آشوبناک را نشان می دهد. این نگاشت به صورت

\[ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) \]

تعریف می شود، که در آن

\[ x_n \in [0,1] \]

و

\[ r \]

یک پارامتر مثبت (معمولا بین

\[ 0 \]

و

\[ 4 \]

) است.

این نگاشت در ابتدا به عنوان یک مدل ساده برای رشد جمعیت (با در نظر گرفتن محدودیت منابع) معرفی شد. بسته به مقدار

\[ r \]

، رفتارهای بسیار متفاوتی مشاهده می شود: برای

\[ 0 < r < 1 \]

، جمعیت به سمت صفر می رود (انقراض). برای

\[ 1 < r < 3 \]

، جمعیت به یک نقطه ی ثابت غیرصفر همگرا می شود. برای

\[ 3 < r < 3.57 \]

(حدودا)، نوسانات تناوبی (شامل دو‌تناوبی، چهار‌تناوبی و ...) رخ می دهد (انشعاب دو‌تایی (period-doubling bifurcation)). برای

\[ r > 3.57 \]

، رفتار آشوبناک ظاهر می شود، هرچند در میان نواحی آشوب، پنجره های تناوبی نیز وجود دارند. در

\[ r=4 \]

، نگاشت بر روی

\[ [0,1 \]

پوشا است و با نگاشت چادری مزدوج می باشد.

نگاشت لجستیک به دلیل سادگی و غنای دینامیکی، به عنوان یک الگو برای مطالعه ی گذار به آشوب و نظریه ی انشعاب ها (bifurcation theory) استفاده می شود. نمودار انشعاب (bifurcation diagram) آن نمای زیبا و پیچیده ای دارد.

این نگاشت همچنین در زمینه های دیگر مانند اقتصاد، زیست شناسی، و فیزیک برای مدل سازی پدیده های غیرخطی به کار می رود.

\[ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) \quad,\quad x_n \in [0,1] \]

✏️ مثال: برای

\[ r=2 \]

، نقطه ی ثابت

\[ x^* = 1/2 \]

(پایدار). برای

\[ r=3.2 \]

، یک مدار تناوبی با دوره ۲. برای

\[ r=3.9 \]

، رفتار آشوبناک.