نگاشت چادری (Tent Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت چادری (Tent Map) :

نگاشت چادری (tent map) یک نگاشت آشوبناک یک بعدی روی بازه

\[ [0,1] \]

است که به صورت زیر تعریف می شود:

\[ T_\mu(x) = \begin{cases} \mu x & 0 \le x < 1/2 \\ \mu(1-x) & 1/2 \le x \le 1 \end{cases} \]

که

\[ \mu \]

یک پارامتر بین

\[ 0 \]

و

\[ 2 \]

است. نام این نگاشت از شکل نمودار آن (که شبیه چادر است) گرفته شده است.

برای

\[ \mu > 1 \]

، نگاشت چادری رفتار آشوبناک از خود نشان می دهد. برای

\[ \mu = 2 \]

، این نگاشت بر روی

\[ [0,1 \]

پوشا (surjective) است و با نگاشت جابجایی روی دنباله های دودویی مزدوج (conjugate) می باشد. به این معنا که می توان آن را با استفاده از نمایش دودویی نقاط به نگاشت جابجایی تبدیل کرد.

نگاشت چادری یک نگاشت قطعه ای-خطی (piecewise linear) است و به دلیل سادگی، در مطالعه ی مفاهیم بنیادی نظریه ی آشوب (مانند آنتروپی، نمای لیاپانوف) به عنوان یک مثال آموزشی استفاده می شود.

این نگاشت دارای یک نقطه ی ثابت در

\[ x=0 \]

و برای

\[ \mu>1 \]

یک نقطه ی ثابت دیگر در

\[ x=\mu/(\mu+1) \]

دارد. برای

\[ \mu=2 \]

، نمای لیاپانوف برابر

\[ \ln 2 \]

است (مثبت) که نشان دهنده ی آشوب است.

در کاربردها، نگاشت چادری در مدل سازی جمعیت ها (با اثر آللی (Allee effect)) و در پردازش سیگنال (تولید دنباله های آشوبناک) به کار می رود.

\[ T_2(x) = \begin{cases} 2x & 0 \le x < 1/2 \\ 2-2x & 1/2 \le x \le 1 \end{cases} \]

✏️ مثال:

\[ T_2(0.2)=0.4 \]

،

\[ T_2(0.7)=0.6 \]

. تکرار این نگاشت از یک نقطه ی گویا به یک مدار تناوبی می رسد (مثلا

\[ 0.2 \to 0.4 \to 0.8 \to 0.4 \]

).