نگاشت جابجایی (Shift Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت جابجایی (Shift Map) :

در دینامیک نمادین (symbolic dynamics)، نگاشت جابجایی (shift map) روی فضای دنباله های دوسویه یا یک سویه از یک الفبای متناهی تعریف می شود. اگر

\[ \Sigma = \{0,1,\dots,k-1\}^{\mathbb{Z}} \]

(دنباله های دوسویه) باشد، نگاشت جابجایی

\[ \sigma:\Sigma\to\Sigma \]

به صورت

\[ (\sigma(x))_n = x_{n+1} \]

تعریف می شود. این نگاشت یک سیستم دینامیکی گسسته است.

نگاشت جابجایی روی فضای دنباله های یک سویه (مانند

\[ \{0,1\}^{\mathbb{N}} \]

) نیز تعریف می شود و یک مثال کلاسیک از یک سیستم آشوبناک است. این نگاشت دارای خواص زیر است: حساسیت به شرایط اولیه، چگال بودن مدارهای تناوبی، و اختلاط توپولوژیکی. آنتروپی (entropy) آن برابر

\[ \log k \]

است.

در نظریه ی کدگذاری، جابجایی با مفهوم شیفت رجیستر (shift register) مرتبط است. زیرمجموعه های ناوردای این نگاشت، مانند زیرشیفت های متنوع (subshifts of finite type)، در مطالعه ی سیستم های دینامیکی نمادین اهمیت دارند.

نگاشت جابجایی با نگاشت چادری (tent map) و نگاشت لجستیک نیز ارتباط دارد، زیرا این نگاشت ها را می توان با استفاده از نمایش دودویی نقاط به جابجایی روی دنباله های دودویی تبدیل کرد.

در فیزیک، جابجایی در نظریه ی اطلاعات و مکانیک آماری برای مدل سازی سیستم های با بینهایت درجه آزادی به کار می رود.

\[ (\sigma(x))_n = x_{n+1} \quad,\quad \sigma: \Sigma \to \Sigma \]

✏️ مثال: روی

\[ \{0,1\}^{\mathbb{N}} \]

،

\[ x=(x_0,x_1,x_2,\dots) \]

و

\[ \sigma(x)=(x_1,x_2,x_3,\dots) \]

. دنباله ی

\[ 010101\ldots \]

به

\[ 101010\ldots \]

می رود.