نگاشت چرخشی (Rotation Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت چرخشی (Rotation Map) :

در نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت چرخشی (rotation map) روی دایره

\[ S^1 \]

به صورت

\[ R_\alpha(\theta)=\theta + \alpha \pmod{2\pi} \]

(یا روی بازه

\[ [0,1) \]

با

\[ R_\alpha(x)=x+\alpha \mod 1 \]

) تعریف می شود. این نگاشت یک نمونه ی کلاسیک از سیستم های دینامیکی روی دایره است.

اگر

\[ \alpha \]

یک عدد گویا باشد (

\[ \alpha = p/q \]

)، آن گاه هر نقطه تناوبی با دوره

\[ q \]

است. اگر

\[ \alpha \]

گنگ باشد، آن گاه مدار هر نقطه چگال (dense) در دایره است و سیستم کمابیش تناوبی (quasiperiodic) نامیده می شود. این نگاشت یک ایزومتری (حافظ طول کمان) و یک جابجایی (translation) روی گروه دوری

\[ S^1 \]

است.

نگاشت چرخشی در نظریه ی اعداد (توزیع دنباله های

\[ n\alpha \mod 1 \]

) و در فیزیک (نوسانگرهای نرمال) ظاهر می شود. عدد چرخش (rotation number) یک مفهوم مهم در دینامیک روی دایره است که نرخ متوسط چرخش را اندازه می گیرد.

در دینامیک مختلط، نگاشت

\[ z\mapsto e^{2\pi i\alpha}z \]

روی دایره نیز یک چرخش است. این نگاشت ها در مطالعه ی مجموعه های ژولیا (Julia sets) و فرکتال ها نقش دارند.

نگاشت چرخشی همچنین به عنوان یک بلوک سازنده در سیستم های دینامیکی پیچیده تر (مانند نگاشت استاندارد (standard map)) استفاده می شود.

\[ R_\alpha(x) = x + \alpha \pmod{1} \quad,\quad R_\alpha(\theta) = \theta + \alpha \pmod{2\pi} \]

✏️ مثال:

\[ R_{1/3} \]

روی

\[ [0,1) \]

:

\[ 0\mapsto 1/3\mapsto 2/3\mapsto 0 \]

.

\[ R_{\sqrt{2}/2} \]

یک چرخش با عدد گنگ است.