نگاشت تکرار (Iterated Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تکرار (Iterated Map) :

در نظریه ی سیستم های دینامیکی، یک نگاشت تکرار (iterated map) یک نگاشت

\[ f:X\to X \]

است که با اعمال مکرر آن، یک سیستم دینامیکی گسسته تعریف می شود. دنباله ی

\[ x_{n+1}=f(x_n) \]

را مسیر (orbit) نقطه ی اولیه

\[ x_0 \]

می نامند. مطالعه ی رفتار این دنباله ها (همگرایی، تناوب، آشوب) موضوع اصلی دینامیک گسسته است.

نگاشت های تکرار ساده مانند نگاشت لجستیک (logistic map) می توانند رفتارهای بسیار پیچیده ای از خود نشان دهند. تکرار یک نگاشت، مفهوم توان های آن (

\[ f^n = f\circ f\circ\cdots\circ f \]

) را به وجود می آورد. نقطه ای مانند

\[ x \]

که

\[ f^n(x)=x \]

باشد، نقطه ی تناوبی با دوره

\[ n \]

نامیده می شود.

در آنالیز عددی، روش های تکراری مانند روش نیوتن (Newton's method) برای یافتن ریشه های معادلات، بر اساس تکرار یک نگاشت (مانند

\[ x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n) \]

) کار می کنند. همگرایی این روش ها به نقاط ثابت نگاشت بستگی دارد.

در نظریه ی فرکتال ها، مجموعه های خودمتشابه (self-similar sets) مانند مجموعه ی کانتور و برف دانه ی کخ توسط تکرار یک سیستم از نگاشت های انقباضی (IFS) تولید می شوند.

در رمزنگاری، برخی از الگوریتم های رمزنگاری مبتنی بر تکرار نگاشت های آشوبناک هستند.

\[ x_{n+1} = f(x_n) \quad,\quad f^n = \underbrace{f\circ \cdots \circ f}_{n \text{ بار}} \]

✏️ مثال:

\[ f(x)=x^2 \]

،

\[ f^n(x)=x^{2^n} \]

. نگاشت لجستیک

\[ f(x)=rx(1-x) \]

. روش نیوتن

\[ f(x)=x - \frac{g(x)}{g'(x)} \]

.