نگاشت تکامل (Evolution Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت تکامل (Evolution Map) :
در نظریه ی معادلات دیفرانسیل و سیستم های دینامیکی، نگاشت تکامل (evolution map) یا عملگر تکامل (evolution operator) به خانوادگی از نگاشت ها گفته می شود که وضعیت یک سیستم را در زمان های مختلف به هم مرتبط می کند. اگر یک معادله ی دیفرانسیل معمولی
\[ \dot{x} = f(x,t) \]داشته باشیم، نگاشت تکامل
\[ U(t,s) \]وضعیت در زمان
\[ s \]را به وضعیت در زمان
\[ t \]می برد:
\[ x(t) = U(t,s) x(s) \].
برای سیستم های خودگردان (autonomous) یعنی
\[ f \]مستقل از زمان، نگاشت تکامل یک گروه یک پارامتری از دی فئومورفیسم ها را تشکیل می دهد:
\[ U(t,s) = \Phi_{t-s} \]که
\[ \Phi_t \]فلو (flow) میدان برداری است. در این حالت،
\[ \Phi_t \circ \Phi_s = \Phi_{t+s} \]و
\[ \Phi_0 = id \].
در مکانیک کوانتومی، عملگر تکامل زمانی (time evolution operator)
\[ U(t) \]یک عملگر یکانی (unitary) است که حالت کوانتومی را در زمان تکامل می دهد:
\[ |\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle \]. این عملگر توسط معادله ی شرودینگر
\[ i\hbar \frac{d}{dt}U(t) = H U(t) \]با هامیلتونی
\[ H \]تعیین می شود. اگر
\[ H \]مستقل از زمان باشد،
\[ U(t)=e^{-iHt/\hbar} \].
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت تکامل (یا فلو) برای مطالعه ی رفتار بلندمدت، نقاط ثابت، مدارهای تناوبی، و پایداری به کار می رود. نگاشت پوانکاره (Poincaré map) یک نوع خاص از نگاشت تکامل است که روی یک مقطع عرضی تعریف می شود.
در معادلات دیفرانسیل با تأخیر (delay differential equations) و معادلات با مشتقات جزئی، نگاشت تکامل ممکن است روی فضاهای تابعی تعریف شود.
\[ x(t) = U(t,s) x(s) \quad,\quad U(t,s) = \Phi_{t-s} \quad,\quad U(t) = e^{-iHt/\hbar} \]✏️ مثال: برای معادله ی
\[ \dot{x}=ax \]، نگاشت تکامل
\[ U(t,s)x_0 = e^{a(t-s)}x_0 \]. در مکانیک کوانتومی،
\[ U(t)=e^{-iHt/\hbar} \].
