نگاشت آشوبی (Chaotic Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت آشوبی (Chaotic Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، یک نگاشت آشوبی (chaotic map) یک نگاشت دینامیکی است که رفتار آشوبناک (chaotic) از خود نشان می دهد. آشوب معمولا با سه ویژگی تعریف می شود: حساسیت به شرایط اولیه (sensitive dependence on initial conditions)، چگال بودن مدارهای تناوبی (density of periodic orbits)، و خاصیت اختلاط توپولوژیکی (topological mixing).
معروف ترین مثال از نگاشت آشوبی، نگاشت لجستیک (logistic map)
\[ x_{n+1}=rx_n(1-x_n) \]برای مقادیر خاصی از پارامتر
\[ r \](مثلا
\[ r=4 \]) است. این نگاشت با وجود سادگی، رفتار بسیار پیچیده ای دارد. نگاشت چادری (tent map) و نگاشت هنون (Hénon map) نیز نمونه هایی از نگاشت های آشوبی هستند.
در دینامیک نمادین، نگاشت جابجایی (shift map) روی فضای دنباله های دودویی یک نگاشت آشوبی است. در این نگاشت، فاصله بین دو دنباله با نزدیک ترین موقعیتی که در آن بیت ها متفاوت هستند اندازه گیری می شود و حساسیت به شرایط اولیه به وضوح دیده می شود.
آشوب در سیستم های پیوسته نیز دیده می شود. برای مثال، جاذب لورنتس (Lorentz attractor) یک سیستم معادلات دیفرانسیل است که رفتار آشوبناک دارد.
در فیزیک، آشوب در بسیاری از سیستم ها از جمله دینامیک سیالات، مدارها، و مکانیک کوانتومی (آشوب کوانتومی) مشاهده می شود. در علوم زیستی، مدل های جمعیتی و سیستم های عصبی نیز می توانند آشوبناک باشند.
\[ \text{حساسیت به شرایط اولیه: } \exists \epsilon>0 \ \forall \delta>0 \ \exists x,y \ \exists n: d(f^n(x),f^n(y)) > \epsilon \]✏️ مثال: نگاشت لجستیک با
\[ r=4 \]، نگاشت چادری، نگاشت هنون، و جاذب لورنتس.
