نگاشت دینامیکی (Dynamical Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت دینامیکی (Dynamical Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، یک نگاشت دینامیکی (dynamical map) یا جریان (flow) (برای زمان پیوسته) یا تکرار (iteration) (برای زمان گسسته) به نگاشتی گفته می شود که تحول یک سیستم را در طول زمان توصیف می کند. برای یک سیستم گسسته، یک نگاشت
\[ f:X\to X \](که ممکن است معکوس پذیر نباشد) داده می شود و دینامیک با اعمال مکرر
\[ f \]مطالعه می شود. برای سیستم پیوسته، یک خانواده ی یک پارامتری از نگاشت ها
\[ \Phi_t:X\to X \](معمولا با
\[ \Phi_0=id \]و
\[ \Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t \]) داده می شود.
نگاشت های دینامیکی می توانند خطی یا غیرخطی باشند. مثال های معروف شامل نگاشت لجستیک (logistic map)
\[ x_{n+1}=rx_n(1-x_n) \]، نگاشت هنون (Hénon map) و نگاشت نعل اسبی (horseshoe map) هستند. این نگاشت ها می توانند رفتارهای پیچیده ای مانند آشوب (chaos) و جاذب های عجیب (strange attractors) از خود نشان دهند.
در دینامیک نمادین (symbolic dynamics)، نگاشت جابجایی (shift map) روی فضای دنباله ها یک نگاشت دینامیکی است. در دینامیک همیلتونی، فاز شار (Hamiltonian flow) روی فضای فاز یک نگاشت دینامیکی است.
در نظریه ی ارگودیک، نگاشت های دینامیکی که یک اندازه ی ناوردا (invariant measure) دارند، مطالعه می شوند. خواصی مانند اختلاط (mixing)، ارگودیک بودن (ergodicity) و آنتروپی (entropy) برای این نگاشت ها تعریف می شوند.
در کاربردها، نگاشت های دینامیکی در مدل سازی جمعیت ها، نوسانگرها، مدارهای الکتریکی، و سیستم های اقلیمی استفاده می شوند.
\[ x_{n+1} = f(x_n) \quad\text{(گسسته)}\quad,\quad \frac{d}{dt}\Phi_t(x) = X(\Phi_t(x)) \quad\text{(پیوسته)} \]✏️ مثال: نگاشت لجستیک
\[ f(x)=rx(1-x) \]، نگاشت چادری (tent map)، شار معادله ی لورنتس (Lorentz system).
