نگاشت پیمانه ای (در نظریه میدان) (Modular Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پیمانه ای (در نظریه میدان) (Modular Map) :
در نظریه ی میدان های کوانتومی و نظریه ی جبرهای عملگری، نگاشت پیمانه ای (modular map) یا گروه مدولار (modular group) با نظریه ی مدولار توما-تاکساکی (Takesaki) مرتبط است. اگر
\[ \mathcal{M} \]یک جبر فون نویمان با یک حالت (state) وفادار و نرمال
\[ \omega \]باشد، آن گاه یک گروه یک پارامتری از خودریختی ها
\[ \sigma_t^\omega \](جریان مدولار) و یک عملگر پادخطی
\[ J \](مزدوج مدولار) وجود دارد که با شرایط خاصی (شرایط کی ام اس (KMS)) مشخص می شوند.
این ساختار در فیزیک آماری و نظریه ی میدان برای توصیف حالت های تعادل گرمایی (KMS states) و دوگانگی (duality) در نظریه ی میدان های همدیس (CFT) اهمیت دارد. در نظریه ی میدان، نگاشت پیمانه ای می تواند به عنوان یک تقارن پنهان (hidden symmetry) ظاهر شود.
در نظریه ی میدان های همدیس دو بعدی، گروه مدولار
\[ SL(2,\mathbb{Z}) \]روی توابع همبستگی (correlation functions) روی چنبره (torus) عمل می کند. این عمل توسط ماتریس های
\[ S \]و
\[ T \](تبدیلات مدولار) نمایش داده می شود که در نظریه ی میدان های همدیس برای طبقه بندی نظریه ها به کار می روند.
در نظریه ی ریسمان، دوگانگی مدولار (modular duality) بین توصیف های مختلف یک نظریه (مانند دوگانگی S) ظاهر می شود.
بنابراین، نگاشت پیمانه ای در نظریه میدان به دو مفهوم اشاره دارد: یکی جریان مدولار در جبرهای فون نویمان و دیگری عمل گروه مدولار روی توابع همبستگی در CFT.
\[ \sigma_t^\omega \in \operatorname{Aut}(\mathcal{M}) \quad,\quad SL(2,\mathbb{Z}) = \left\langle \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle \]✏️ مثال: در نظریه ی میدان های همدیس، توابع همبستگی روی چنبره تحت
\[ S:\tau\mapsto -1/\tau \]و
\[ T:\tau\mapsto \tau+1 \]به صورت کوانتمی تبدیل می شوند.
