نگاشت فون نویمان (Von Neumann Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت فون نویمان (Von Neumann Map) :
در نظریه ی عملگرها و جبرهای عملگری، اصطلاح «نگاشت فون نویمان» (Von Neumann map) معمولا به یک *-همومورفیسم (star-homomorphism) بین جبرهای فون نویمان (Von Neumann algebras) اشاره دارد که با توپولوژی های ضعیف (weak topologies) سازگار است. جبرهای فون نویمان جبرهایی از عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای هیلبرت هستند که تحت الحاق بسته بوده و با دو کمیوتان (bicommutant) خود برابرند (قضیه ی دوکمیوتان فون نویمان).
یک نگاشت فون نویمان
\[ \phi: \mathcal{M} \to \mathcal{N} \]بین دو جبر فون نویمان، یک *-همومورفیسم نرمال (normal) است، به این معنی که سوپریمم هر مجموعه ی صعودی کراندار را حفظ می کند (یا معادل آن، با توپولوژی های ضعیف عملگر (weak operator topology) پیوسته است). این نگاشت ها نقش اساسی در طبقه بندی جبرهای فون نویمان و نظریه ی نمایش دارند.
مفهوم دیگر مرتبط با فون نویمان، «حلقه های منظم فون نویمان» (von Neumann regular rings) است که در آن هر عنصر
\[ a \]دارای یک شبه معکوس (pseudoinverse)
\[ b \]است به طوری که
\[ a = aba \]. این خاصیت به نوعی شبیه به خاصیت تصویرهای خودتوان در جبرهای عملگری است.
در نظریه ی ارگودیک، نگاشت فون نویمان ممکن است به جریان های فون نویمان (von Neumann flows) یا تبدیل های اندازه پذیر مرتبط با جبرهای فون نویمان اشاره داشته باشد.
در فیزیک کوانتومی، جبرهای فون نویمان برای توصیف سیستم های کوانتومی با بینهایت درجه آزادی (نظریه ی میدان) استفاده می شوند و نگاشت های بین آن ها، تبدیل های فیزیکی را مدل می کنند.
\[ \phi(xy) = \phi(x)\phi(y) \quad,\quad \phi(x^*) = \phi(x)^* \quad,\quad \phi \text{ normal} \]✏️ مثال: یک *-ایزومورفیسم بین
\[ L^\infty[0,1] \]و یک جبر فون نویمان جابجایی دیگر. نمایش GNS (Gelfand-Naimark-Segal) یک *-همومورفیسم از یک جبر
\[ C^* \]به جبر عملگرها روی یک فضای هیلبرت است.
