نگاشت قطری شونده (Diagonalizable Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت قطری شونده (Diagonalizable Map) :
در جبر خطی، یک عملگر خطی
\[ T:V\to V \]روی یک فضای برداری با بعد متناهی قطری شونده (diagonalizable) نامیده می شود اگر یک پایه از
\[ V \]وجود داشته باشد که
\[ T \]در آن پایه به صورت یک ماتریس قطری (قطری) نمایش داده شود. این معادل آن است که
\[ V \]دارای یک پایه از بردارهای ویژه ی
\[ T \]باشد.
شرط لازم و کافی برای قطری شدن روی یک میدان (مثلا
\[ \mathbb{C} \]) این است که چندجمله ای مینیمال
\[ T \]به عوامل خطی متمایز تجزیه شود (یا حداقل به عوامل خطی، اما با احتساب تکرار، برای قطری شدن باید چندجمله ای مینیمال فاقد ریشه های تکراری باشد). روی میدان های ناجبری بسته (مانند
\[ \mathbb{R} \])، ممکن است یک عملگر قطری پذیر نباشد حتی اگر چندجمله ای مشخصه به عوامل خطی تجزیه شود (مثلا اگر چندجمله ای مینیمال دارای ریشه های تکراری باشد).
مثال: هر عملگر خودالحاق (Hermitian) روی فضای ضرب داخلی مختلط، توسط یک پایه متعامد از بردارهای ویژه قطری می شود (قضیه ی طیفی). همچنین هر عملگر نرمال روی فضای هیلبرت با بعد متناهی قطری شونده است.
در کاربردها، قطری سازی برای ساده سازی محاسبات (مانند توان ماتریس، حل دستگاه های دیفرانسیل خطی) استفاده می شود. اگر
\[ A = PDP^{-1} \]با
\[ D \]قطری، آن گاه
\[ A^n = PD^nP^{-1} \]به راحتی محاسبه می شود.
عملگرهایی که قطری شدنی نیستند (مانند بلوک های ژوردن) فرم کانونی ژوردن (Jordan canonical form) دارند که تعمیم ماتریس قطری است.
\[ T(v_i) = \lambda_i v_i \quad,\quad [T]_{\text{basis}} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \]✏️ مثال: ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]قطری است. ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]قطری شدنی نیست (چون فقط یک بردار ویژه دارد). ماتریس های متقارن حقیقی همیشه قطری شدنی هستند.
