نگاشت پوچتوان (Nilpotent Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پوچتوان (Nilpotent Map) :
در جبر خطی، یک عملگر خطی
\[ N:V\to V \]پوچتوان (nilpotent) نامیده می شود اگر توانی از آن صفر شود، یعنی یک عدد صحیح مثبت
\[ k \]وجود داشته باشد که
\[ N^k = 0 \]. کوچک ترین چنین
\[ k \]را شاخص پوچتوانی (index of nilpotency) می نامند.
در نظریه ی جبرهای لی، عناصر پوچتوان (nilpotent elements) نقش مهمی در طبقه بندی جبرهای لی حل پذیر (solvable) و پوچتوان دارند. قضیه ی انگل (Engel's theorem) شرطی برای پوچتوانی جبر لی بر حسب پوچتوانی اعضای آن ارائه می دهد.
در آنالیز تابعی، عملگرهای پوچتوان روی فضاهای باناخ نیز مطالعه می شوند، اما در فضای با بعد نامتناهی، عملگرهای پوچتوان معمولا فشرده نیستند و خواص متفاوتی دارند.
در فیزیک، عملگرهای پوچتوان در نظریه ی میدان (برای میدان های پیمانه ای) و در مکانیک کوانتومی (برای عملگرهای آفرینش و نابودی) ظاهر می شوند. عملگرهای نابودی روی حالت های با تعداد کوانتوم معین، پوچتوان هستند.
\[ N^k = 0 \quad \text{برای برخی } k>0 \]✏️ مثال:
\[ N:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ N(x,y)=(0,x) \]پوچتوان است زیرا
\[ N^2=0 \]. ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]پوچتوان است.
