نگاشت خودتوا (Involution Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت خودتوا (Involution Map) :
یک خودتوا (involution) یک نگاشت
\[ f:X\to X \]است که معکوس خودش باشد:
\[ f\circ f = \text{id}_X \]. به عبارت دیگر، اعمال دوباره ی آن، نگاشت همانی را به دست می دهد. این مفهوم در تمام شاخه های ریاضیات ظاهر می شود.
در جبر، یک خودتوا می تواند یک خودریختی (automorphism) با
\[ f^2=id \]باشد. برای مثال، مزدوج گیری مختلط
\[ z\mapsto \bar{z} \]روی
\[ \mathbb{C} \]یک خودتوا است (یک خودریختی میدان). همچنین ترانهاده ی ماتریس
\[ (A\mapsto A^T) \]روی
\[ M_n(\mathbb{R}) \]یک خودتوا است.
در نظریه ی گروه ها، وارون
\[ g\mapsto g^{-1} \]یک خودتوا است (چون
\[ (g^{-1})^{-1}=g \]). در نظریه ی حلقه ها، یک *-حلقه (star-ring) حلقه ای است که مجهز به یک خودتوا (*-operation) با
\[ (a^*)^*=a \]و
\[ (ab)^*=b^*a^* \]است.
در هندسه، بازتاب (reflection) نسبت به یک نقطه یا خط یک خودتوا است. چرخش ۱۸۰ درجه نیز یک خودتوا است. در توپولوژی، نگاشت پادپایی (antipodal map) روی کره
\[ x\mapsto -x \]یک خودتوا است.
در فیزیک، خودتواها با تقارن های گسسته مانند پاریته (Parity) و وارونی زمانی (Time reversal) مرتبط هستند. در مکانیک کوانتومی، عملگر پاریته یک عملگر یکانی با
\[ P^2=I \]است.
\[ f\circ f = \text{id} \quad,\quad f^{-1} = f \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=-x \]یک خودتوا است.
\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]با
\[ f(z)=\bar{z} \]خودتوا است.
\[ f:GL(n)\to GL(n) \]با
\[ f(A)=A^{-1} \]خودتوا است.
