نگاشت خودتوان (Idempotent Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت خودتوان (Idempotent Map) :

در جبر، یک نگاشت خودتوان (idempotent) یا تصویر (projection) یک نگاشت خطی

\[ P:V\to V \]

است که

\[ P^2 = P \]

. به عبارت دیگر، اعمال دوباره ی نگاشت، همان نتیجه ی اعمال یک بار را دارد. این مفهوم در جبر خطی برای تعریف تصویرهای خطی استفاده می شود.

یک عملگر خودتوان، فضای برداری

\[ V \]

را به مجموع مستقیم

\[ V = \ker P \oplus \operatorname{im} P \]

تجزیه می کند. برعکس، هر تجزیه به مجموع مستقیم یک تصویر (projection) منحصر به فرد روی هر مؤلفه تعریف می کند. اگر

\[ P \]

خودتوان و متقارن (self-adjoint) باشد، آن را تصویر متعامد (orthogonal projection) می نامیم.

در نظریه ی حلقه ها، یک عنصر خودتوان (idempotent element) در یک حلقه، عنصری مانند

\[ e \]

است که

\[ e^2 = e \]

. این عناصر در تجزیه ی حلقه ها به ایده آل های مستقیم و در نظریه ی نمایش نقش دارند.

در آنالیز تابعی، عملگرهای خودتوان در نظریه ی جبرهای عملگری و اندازه های طیفی ظاهر می شوند. تصویرهای طیفی (spectral projections) در قضیه ی طیفی برای عملگرهای خودالحاق، خودتوان هستند.

در آمار و یادگیری ماشین، ماتریس های خودتوان (مانند ماتریس های هت (hat matrix) در رگرسیون خطی) برای محاسبه ی پیش بینی ها به کار می روند.

\[ P^2 = P \quad,\quad V = \ker P \oplus \operatorname{im} P \]

✏️ مثال:

\[ P:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]

با

\[ P(x,y,z)=(x,y,0) \]

یک تصویر خودتوان است. ماتریس

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

خودتوان است.