نگاشت نرمال (Normal Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت نرمال (Normal Map) :
در آنالیز تابعی و جبر خطی، یک عملگر خطی
\[ N \]روی یک فضای هیلبرت (یا به طور کلی روی یک فضای ضرب داخلی) نرمال (normal) نامیده می شود اگر با الحاق خود جابجا شود:
\[ NN^* = N^*N \]. این شرط ضعیف تر از خودالحاقی (Hermitian) و یکانی (unitary) است، زیرا عملگرهای خودالحاق (
\[ N=N^* \]) و عملگرهای یکانی (
\[ N^*=N^{-1} \]) هر دو نرمال هستند.
عملگرهای نرمال اهمیت زیادی در نظریه ی طیفی دارند، زیرا قضیه ی طیفی برای عملگرهای نرمال فشرده (compact normal operators) بیان می کند که آن ها به صورت یک سری از تصویرهای روی زیرفضاهای ویژه قابل نمایش هستند. در فضای با بعد متناهی، یک ماتریس نرمال است اگر و فقط اگر با یک ماتریس یکانی به یک ماتریس قطری (diagonal) تبدیل شود.
در مکانیک کوانتومی، عملگرهای نرمال (به ویژه خودالحاق) برای نمایش مشاهده پذیرها استفاده می شوند. عملگرهای یکانی نیز برای تحول زمانی به کار می روند. عملگرهای نرمال عمومی تر ممکن است در توصیف سیستم های اتلافی (dissipative) ظاهر شوند.
در جبر خطی، یک ماتریس
\[ A \in M_n(\mathbb{C}) \]نرمال است اگر
\[ A^*A = AA^* \]. این شرط معادل آن است که ماتریس توسط یک ماتریس یکانی قطری شونده باشد. ماتریس های خودالحاق، پاد-خودالحاق (skew-Hermitian)، یکانی، و متقارن مختلط (complex symmetric) همگی زیرمجموعه هایی از ماتریس های نرمال هستند.
\[ N^*N = NN^* \quad,\quad A \text{ normal} \iff A = U\Lambda U^* \]✏️ مثال: ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]نرمال نیست (چون با ترانهاده مزدوجش جابجا نمی شود). ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix} \](هرمیتی) نرمال است. ماتریس دوران در
\[ \mathbb{R}^2 \](متعامد) نرمال است.
