نگاشت هرمیتی (Hermitian Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هرمیتی (Hermitian Map) :

در آنالیز تابعی و جبر خطی، یک نگاشت هرمیتی (Hermitian map) یا عملگر خودالحاق (self-adjoint operator) یک عملگر خطی

\[ A:H\to H \]

روی یک فضای هیلبرت است که با الحاق خود برابر است:

\[ A = A^* \]

. به این معنی که

\[ \langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle \]

برای همه

\[ x,y\in H \]

.

عملگرهای هرمیتی در مکانیک کوانتومی نقش اساسی دارند، زیرا کمیت های فیزیکی (مشاهده پذیرها) با عملگرهای خودالحاق نمایش داده می شوند. مقادیر ویژه ی آن ها حقیقی هستند (نتایج اندازه گیری) و بردارهای ویژه ی متناظر، حالت های با مقدار مشخص را نشان می دهند.

در جبر خطی روی

\[ \mathbb{C}^n \]

، ماتریس های هرمیتی (Hermitian matrices) ماتریس هایی هستند که

\[ A^* = A \]

، یعنی ترانهاده ی مزدوج برابر خود ماتریس است. این ماتریس ها درایه های قطری حقیقی دارند و درایه های غیرقطری مزدوج یکدیگرند. آن ها گروهی تشکیل نمی دهند (چون جمع آن ها هرمیتی است ولی ضربشان لزوما هرمیتی نیست).

در نظریه ی عملگرها، عملگرهای خودالحاق دارای طیف حقیقی هستند و قضیه ی طیفی (spectral theorem) آن ها را به صورت انتگرال بر روی تصویرهای طیفی نمایش می دهد. این عملگرها در معادلات دیفرانسیل (مانند عملگر شرودینگر) و فیزیک ریاضی کاربرد دارند.

در هندسه دیفرانسیل، تانسورهای هرمیتی (مانند متریک هرمیتی روی منیفلدهای مختلط) با ضرب داخلی هرمیتی روی فضای مماس مختلط تعریف می شوند.

\[ A = A^* \quad,\quad \langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle \]

✏️ مثال: ماتریس

\[ \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix} \]

هرمیتی است. عملگر مکان

\[ \hat{x} \]

و تکانه

\[ \hat{p} \]

در مکانیک کوانتومی خودالحاق هستند (روی فضای مناسب).