نگاشت یکانی (Unitary Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یکانی (Unitary Map) :

در آنالیز تابعی و مکانیک کوانتومی، یک نگاشت یکانی (unitary map) یا عملگر یکانی (unitary operator) یک نگاشت خطی

\[ U:H\to K \]

بین فضاهای هیلبرت است که ضرب داخلی را حفظ می کند و دوسویه (bijective) است. به عبارت دیگر،

\[ \langle Ux, Uy\rangle = \langle x,y\rangle \]

برای همه

\[ x,y\in H \]

و

\[ U \]

معکوس پذیر با

\[ U^{-1}=U^* \]

(الحاقی). برای یک فضای هیلبرت مختلط، این شرط معادل

\[ U^*U = UU^* = I \]

است.

عملگرهای یکانی، ایزومتری های خطی بین فضاهای هیلبرت هستند و ساختار ضرب داخلی (و در نتیجه نرم و زاویه) را حفظ می کنند. آن ها در مکانیک کوانتومی برای نمایش تحول زمانی (عملگر تکامل

\[ U(t) \]

) و تقارن ها (مانند چرخش ها) به کار می روند.

در نظریه ی گروه ها، نمایش های یکانی (unitary representations) نمایش هایی از یک گروه روی فضای هیلبرت هستند که در آن هر عملگر گروه یکانی است. این نمایش ها در آنالیز هارمونیک و فیزیک ذرات بنیادی اهمیت دارند.

در جبر خطی روی

\[ \mathbb{C}^n \]

، ماتریس های یکانی (unitary matrices) ماتریس هایی هستند که

\[ U^*U = I \]

، یعنی

\[ U^{-1}=U^* \]

. این ماتریس ها گروه

\[ U(n) \]

را تشکیل می دهند. دترمینان یک ماتریس یکانی عددی مختلط با قدر مطلق ۱ است.

در نظریه ی فوریه، تبدیل فوریه یک عملگر یکانی روی

\[ L^2(\mathbb{R}^n) \]

است (با نرمال سازی مناسب).

\[ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x,y \rangle \quad,\quad U^*U = UU^* = I \]

✏️ مثال: ماتریس های دوران در

\[ \mathbb{R}^2 \]

یکانی نیستند (چون روی فضای حقیقی تعریف شده اند؛ روی فضای مختلط، ماتریس های یکانی شامل ماتریس های مختلط با

\[ U^*U=I \]

). تبدیل فوریه روی

\[ L^2 \]

یک عملگر یکانی است.