نگاشت تصویر (Projection Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تصویر (Projection Map) :

در ریاضیات، یک تصویر (projection) یک نگاشت خطی یا غیرخطی است که یک فضا را به یک زیرفضای خود می نگارد و روی آن زیرفضا همانی عمل می کند. در جبر خطی، یک تصویر خطی (linear projection) یک عملگر خودتوان (idempotent) است:

\[ P^2=P \]

. اگر

\[ P \]

متقارن (self-adjoint) نیز باشد، آن را تصویر متعامد (orthogonal projection) می نامیم.

تصویرهای خطی برای تجزیه ی فضاها به مجموع مستقیم (direct sum) استفاده می شوند. اگر

\[ V = U\oplus W \]

، آن گاه تصویر روی

\[ U \]

در امتداد

\[ W \]

یک نگاشت خطی با هسته

\[ W \]

است.

در توپولوژی و هندسه، تصویرها معمولا به صورت نگاشت هایی از حاصلضرب به یکی از عامل ها تعریف می شوند:

\[ \pi_X: X\times Y\to X \]

با

\[ \pi_X(x,y)=x \]

. این تصویرها پیوسته و باز هستند.

در هندسه دیفرانسیل، تصویر از یک بسته (bundle) مانند بسته مماس

\[ TM\to M \]

یا بسته ی برداری، یک زیروردی (submersion) است. تصویر از یک فضای خارج قسمتی (quotient space) به خودش نیز یک تصویر است.

در فیزیک، تصویرها برای جداسازی مؤلفه های یک میدان (مانند میدان برداری به مؤلفه های طولی و عرضی) و در مکانیک کوانتومی برای تصویر روی زیرفضاهای ویژه به کار می روند.

\[ P^2 = P \quad,\quad \pi_X: X\times Y \to X \quad,\quad \pi_X(x,y)=x \]

✏️ مثال:

\[ P:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]

با

\[ P(x,y,z)=(x,y,0) \]

یک تصویر بر روی صفحه

\[ xy \]

است.

\[ \pi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \]

با

\[ \pi(x,y)=x \]

یک تصویر است.