نگاشت بازتاب (Reflection Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت بازتاب (Reflection Map) :
در هندسه، یک بازتاب (reflection) یک نگاشت خطی است که یک فضای برداری را نسبت به یک زیرفضا (یک خط در
\[ \mathbb{R}^2 \]یا یک صفحه در
\[ \mathbb{R}^3 \]) منعکس می کند. بازتاب نسبت به یک خط در
\[ \mathbb{R}^2 \]که با بردار یکه
\[ u \]مشخص می شود، با ماتریس
\[ R = I - 2uu^T \](در صورت بازتاب نسبت به خط عمود بر
\[ u \]) یا به طور کلی با ماتریس بازتاب Householder داده می شود.
بازتاب ها ایزومتری های معکوس کننده جهت (orientation-reversing) هستند، یعنی دترمینان آن ها
\[ -1 \]است. آن ها در گروه متعامد
\[ O(n) \]قرار دارند ولی در
\[ SO(n) \]نیستند (مگر در ابعاد فرد با ترکیب با چرخش).
در
\[ \mathbb{R}^3 \]، بازتاب نسبت به یک صفحه، یک ایزومتری با دترمینان
\[ -1 \]است. بازتاب نسبت به یک نقطه (وارونی) نیز یک نوع بازتاب است که با ماتریس
\[ -I \]نمایش داده می شود.
در فیزیک، بازتاب های مکانی (تقارن آینه ای) با پایستگی پاریته (parity) مرتبط هستند. در مکانیک کوانتومی، عملگر پاریته یک عملگر یکانی با
\[ P^2=I \]است که حالت ها را منعکس می کند.
در جبر خطی، بازتاب های Householder برای محاسبات عددی (به ویژه در تجزیه ی QR) برای صفر کردن درایه های یک ماتریس استفاده می شوند.
\[ R = I - 2uu^T \quad,\quad \det R = -1 \quad,\quad R^2 = I \]✏️ مثال: بازتاب نسبت به محور
\[ x \]در
\[ \mathbb{R}^2 \]:
\[ (x,y)\mapsto (x,-y) \]. بازتاب نسبت به صفحه
\[ xy \]در
\[ \mathbb{R}^3 \]:
\[ (x,y,z)\mapsto (x,y,-z) \].
