نگاشت چرخش (Rotation Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت چرخش (Rotation Map) :
در هندسه، یک چرخش (rotation) یک نگاشت خطی (یا افاین) است که نقاط را حول یک نقطه ثابت (مرکز چرخش) با زاویه ای معین می چرخاند. در
\[ \mathbb{R}^2 \]، چرخش به زاویه
\[ \theta \]حول مبدأ با ماتریس
\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]نمایش داده می شود. این ماتریس یک ماتریس متعامد با دترمینان ۱ است.
چرخش ها در
\[ \mathbb{R}^3 \]توسط ماتریس های متعامد
\[ 3\times 3 \]با دترمینان ۱ نمایش داده می شوند و گروه
\[ SO(3) \]را تشکیل می دهند. چرخش ها فاصله ها و زاویه ها را حفظ می کنند و ایزومتری های مستقیم (حافظ جهت) هستند.
در فیزیک، چرخش ها با پایستگی تکانه ی زاویه ای مرتبط هستند. در مکانیک کوانتومی، عملگرهای چرخش روی فضای حالت توسط گروه
\[ SU(2) \](پوشش دوگانه
\[ SO(3) \]) نمایش داده می شوند.
در هندسه دیفرانسیل، چرخش روی منیفلدها ممکن است به عنوان یک عمل گروهی از
\[ SO(n) \]روی منیفلد تعریف شود. میدان های کیلینگ (Killing fields) مرتبط با چرخش ها، تقارن های متریک را ایجاد می کنند.
در گرافیک کامپیوتری و رباتیک، چرخش ها برای نمایش جهت گیری اجسام و حرکت های زاویه ای به کار می روند.
\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad,\quad R \in SO(3) \implies R^T R = I,\; \det R=1 \]✏️ مثال: چرخش ۹۰ درجه در
\[ \mathbb{R}^2 \]:
\[ (x,y)\mapsto (-y,x) \]. چرخش حول محور
\[ z \]در
\[ \mathbb{R}^3 \]با زاویه
\[ \theta \].
