نگاشت انتقال (Translation Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت انتقال (Translation Map) :

در هندسه و جبر، نگاشت انتقال (translation map) یک نگاشت است که تمام نقاط یک فضا را با یک بردار ثابت جابجا می کند. در فضای اقلیدسی

\[ \mathbb{R}^n \]

، انتقال با بردار

\[ v \]

به صورت

\[ T_v(x)=x+v \]

تعریف می شود. این نگاشت یک ایزومتری (isometry) و یک دی فئومورفیسم است.

انتقال ها گروهی از تبدیل های هندسی را تشکیل می دهند که با جمع برداری ایزومورف است. آن ها زیرگروه نرمال گروه اقلیدسی (Euclidean group) هستند. در فیزیک، انتقال های مکانی-زمانی با پایستگی تکانه خطی مرتبط هستند (قضیه ی نوتر).

در نظریه ی گروه ها، انتقال چپ (left translation) و انتقال راست (right translation) روی یک گروه

\[ G \]

به صورت

\[ L_g(h)=gh \]

و

\[ R_g(h)=hg \]

تعریف می شوند. این نگاشت ها دی فئومورفیسم های گروه (به عنوان یک منیفلد) هستند و در مطالعه ی گروه های لی و میدان های برداری پایاچپ (left-invariant vector fields) اهمیت دارند.

در آنالیز تابعی، عملگر انتقال (translation operator) روی فضاهای تابعی مانند

\[ L^p(\mathbb{R}^n) \]

به صورت

\[ (T_v f)(x)=f(x-v) \]

تعریف می شود. این عملگرها در تحلیل فوریه و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی کاربرد دارند.

در هندسه جبری، انتقال روی یک واریته جبری (مانند منیفلدهای آبلی) نیز تعریف می شود.

\[ T_v(x)=x+v \quad,\quad L_g(h)=gh \quad,\quad (T_v f)(x)=f(x-v) \]

✏️ مثال: در

\[ \mathbb{R}^2 \]

،

\[ T_{(1,2)}(x,y)=(x+1,y+2) \]

. روی گروه

\[ GL(n) \]

،

\[ L_A(B)=AB \]

انتقال چپ است.