نگاشت وارون (Inversion Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت وارون (Inversion Map) :
در نظریه ی گروه ها و جبر، نگاشت وارون (inversion map) به نگاشتی گفته می شود که هر عنصر را به وارون (معکوس) خود می برد. در یک گروه
\[ G \]، نگاشت
\[ i:G\to G \]با
\[ i(g)=g^{-1} \]تعریف می شود. این نگاشت یک پاد-خودریختی (anti-automorphism) است زیرا
\[ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \]و یک دوسویی (bijection) است. اگر گروه جابجایی باشد، این نگاشت یک خودریختی است.
در نظریه ی حلقه ها و میدان ها، وارون ضربی (multiplicative inverse) روی مجموعه ی عناصر ناصفر تعریف می شود. برای مثال، در میدان
\[ \mathbb{Q} \]، نگاشت
\[ x\mapsto 1/x \]یک خودریختی نیست (چون جمع را حفظ نمی کند) اما یک پاد-خودریختی نسبت به ضرب است.
در آنالیز مختلط، نگاشت وارون
\[ z\mapsto 1/z \]روی صفحه ی مختلط (به جز صفر) یک تبدیل همدیس (conformal) است که دایره ها و خطوط را به دایره ها و خطوط تبدیل می کند (تعمیم به کره ی ریمان). این نگاشت در نظریه ی توابع مرو مورفیک و تبدیل های موبیوس نقش دارد.
در هندسه، وارون نسبت به یک دایره (inversion in a circle) یک تبدیل هندسی است که هر نقطه
\[ P \]غیر از مرکز دایره را به نقطه ای
\[ P' \]روی همان شعاع می برد به طوری که
\[ OP \cdot OP' = r^2 \]. این تبدیل زاویه ها را حفظ کرده ولی خطوط را به دایره تبدیل می کند.
در نظریه ی ماتریس ها، نگاشت
\[ A\mapsto A^{-1} \]روی گروه
\[ GL(n) \]یک خودریختی (و در واقع یک پاد-خودریختی نیست چون
\[ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]، پس یک پاد-خودریختی است). این نگاشت در مطالعه ی گروه های لی کاربرد دارد.
\[ i(g)=g^{-1} \quad,\quad (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \quad,\quad z\mapsto 1/z \]✏️ مثال: در گروه ضربی
\[ \mathbb{R}^\times \]،
\[ x\mapsto 1/x \]یک خودریختی است (چون گروه جابجایی است). در
\[ GL(n) \]،
\[ A\mapsto A^{-1} \]یک پاد-خودریختی است.
