نگاشت دترمینانی (Determinant Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت دترمینانی (Determinant Map) :

نگاشت دترمینانی (determinant map) تابعی است که به هر ماتریس مربعی، یک اسکالر (عضو میدان) نسبت می دهد. برای یک ماتریس

\[ n\times n \]

مانند

\[ A \]

با درایه های

\[ a_{ij} \]

، دترمینان

\[ \det(A) \]

به صورت جمعی از حاصلضرب ها با علامت مناسب (توسط جایگشت ها) تعریف می شود. دترمینان یک نگاشت چندخطی و متناوب (alternating) نسبت به سطرها (یا ستون ها) است.

دترمینان نقش اساسی در جبر خطی دارد: یک ماتریس معکوس پذیر است اگر و فقط اگر دترمینان آن ناصفر باشد. دترمینان همچنین در فرمول کرامر برای حل دستگاه های خطی، در محاسبه ی مقادیر ویژه (چندجمله ای مشخصه)، و در تغییر متغیر در انتگرال های چندگانه (ژاکوبین) ظاهر می شود.

در هندسه، قدر مطلق دترمینان یک ماتریس، عامل تغییر حجم (scale factor) تحت تبدیل خطی متناظر است. برای مثال، دترمینان یک ماتریس دوران ۱ است (حجم حفظ می شود).

در نظریه ی گروه ها، دترمینان یک همومورفیسم از گروه

\[ GL(n) \]

به گروه ضربی میدان پایه (مثلا

\[ \mathbb{R}^\times \]

) است. هسته ی این همومورفیسم، گروه خطی ویژه

\[ SL(n) \]

(ماتریس های با دترمینان ۱) است.

در فیزیک، دترمینان در مکانیک آماری (انتگرال های گاوسی)، نظریه ی میدان (دترمینان عملگرها)، و نسبیت عام (دترمینان متریک) کاربرد دارد.

\[ \det: M_n(F) \to F \quad,\quad \det(AB) = \det A \det B \]

✏️ مثال:

\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc \]

.

\[ \det \]

یک همومورفیسم از

\[ GL(n) \]

به

\[ F^\times \]

است.