نگاشت ماتریسی (Matrix Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت ماتریسی (Matrix Map) :
یک نگاشت ماتریسی (matrix map) معمولا به یک نگاشت خطی بین فضاهای برداری اشاره دارد که با ضرب در یک ماتریس نمایش داده می شود. اگر
\[ A \]یک ماتریس
\[ m\times n \]روی میدان
\[ F \]باشد، آن گاه نگاشت
\[ T_A:F^n\to F^m \]به صورت
\[ T_A(x)=Ax \](ضرب ماتریس در بردار) یک نگاشت خطی است. برعکس، هر نگاشت خطی بین فضاهای با بعد متناهی را می توان با یک ماتریس نمایش داد.
نگاشت های ماتریسی در تمام شاخه های ریاضیات و کاربردهای آن (مهندسی، فیزیک، اقتصاد) ظاهر می شوند. آن ها برای حل دستگاه های معادلات خطی، تحلیل سیستم های خطی، و تبدیل های هندسی (چرخش، انعکاس، برش) استفاده می شوند.
در جبر خطی، مطالعه ی نگاشت های ماتریسی شامل مفاهیمی مانند رتبه (rank)، هسته (kernel)، تصویر (image)، مقادیر ویژه، و قطری سازی است. گروه های ماتریسی مانند
\[ GL(n) \](گروه خطی عام) و
\[ O(n) \](گروه متعامد) مجموعه هایی از نگاشت های ماتریسی معکوس پذیر هستند.
در نظریه ی عملگرها روی فضاهای با بعد نامتناهی، عملگرهای خطی کراندار را می توان با ماتریس های نامتناهی (با شرایط خاص) نمایش داد. این ماتریس ها در تحلیل فوریه و معادلات دیفرانسیل کاربرد دارند.
در فیزیک، ماتریس ها برای نمایش تبدیل های لورنتس، عملگرهای کوانتومی، و در مکانیک ماتریسی (matrix mechanics) هایزنبرگ به کار می روند.
\[ T_A: F^n \to F^m \quad,\quad T_A(x) = A x \]✏️ مثال: ماتریس دوران
\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]یک نگاشت ماتریسی از
\[ \mathbb{R}^2 \]به خودش است. ماتریس
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \]یک نگاشت خطی از
\[ \mathbb{R}^2 \]به
\[ \mathbb{R}^2 \]تعریف می کند.
