نگاشت مشتق پذیر (در جبر دیفرانسیلی) (Derivation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مشتق پذیر (در جبر دیفرانسیلی) (Derivation) :

در جبر دیفرانسیلی، یک مشتق (derivation) یک نگاشت خطی است که خاصیت لایبنیتز (قاعده حاصلضرب) را ارضا می کند. اگر

\[ A \]

یک جبر روی یک میدان

\[ F \]

باشد، یک مشتق یک نگاشت

\[ F \]

-خطی

\[ D:A\to A \]

است که

\[ D(ab)=D(a)b + aD(b) \]

برای همه

\[ a,b\in A \]

. این مفهوم تعمیم طبیعی مشتق در حسابان به ساختارهای جبری است.

مشتق ها نقش اساسی در هندسه دیفرانسیل (میدان های برداری به عنوان مشتق روی جبر توابع)، در نظریه ی جبرهای لی (براکت لی به عنوان مشتق داخلی)، و در نظریه ی معادلات دیفرانسیل دارند. در جبر دیفرانسیلی، حلقه های دیفرانسیلی (differential rings) حلقه هایی هستند که مجهز به یک یا چند مشتق می باشند.

یک مشتق را می توان به عنوان تعمیم عملگر

\[ \frac{d}{dx} \]

روی چندجمله ای ها یا توابع هموار در نظر گرفت. در جبرهای شرکت پذیر، مجموعه ی همه ی مشتق ها یک جبر لی (Lie algebra) تحت کموتاتور تشکیل می دهند:

\[ [D_1,D_2]=D_1D_2-D_2D_1 \]

.

در فیزیک، مشتق ها در مکانیک کوانتومی (روابط کموتاسیون) و نظریه ی میدان ظاهر می شوند. برای مثال، عملگر مکان و تکانه رابطه ی کموتاسیون

\[ [x,p]=i\hbar \]

را دارند که می توان آن را به عنوان یک مشتق داخلی تعبیر کرد.

در جبر دیفرانسیلی، مشتق ها برای تعریف میدان های برداری جبری و مطالعه ی دستگاه های دیفرانسیل جبری به کار می روند.

\[ D(ab) = D(a)b + aD(b) \quad,\quad D \text{ linear} \]

✏️ مثال: روی

\[ A=\mathbb{R}[x] \]

،

\[ D=\frac{d}{dx} \]

یک مشتق است. روی جبر ماتریس ها،

\[ D_A(B)=[A,B]=AB-BA \]

یک مشتق داخلی است. روی جبر توابع هموار، هر میدان برداری یک مشتق است.