نگاشت نیم خطی (Semilinear Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت نیم خطی (Semilinear Map) :

یک نگاشت نیم خطی (semilinear map) تعمیمی از نگاشت خطی است که در آن اسکالرها تحت یک خودریختی میدان (field automorphism) جابجا می شوند. اگر

\[ V \]

و

\[ W \]

فضاهای برداری روی میدان

\[ F \]

باشند و

\[ \sigma:F\to F \]

یک خودریختی میدان، آن گاه یک نگاشت

\[ f:V\to W \]

نیم خطی (یا

\[ \sigma \]

-خطی) است اگر

\[ f(u+v)=f(u)+f(v) \]

و

\[ f(\alpha v) = \sigma(\alpha) f(v) \]

برای همه

\[ u,v\in V \]

و

\[ \alpha\in F \]

.

مثال مهم: مزدوج گیری مختلط یک نگاشت نیم خطی از

\[ \mathbb{C} \]

(به عنوان یک فضای برداری روی

\[ \mathbb{C} \]

) به خودش است با خودریختی

\[ \sigma(z)=\bar{z} \]

. این نگاشت

\[ \mathbb{C} \]

-خطی نیست زیرا

\[ f(iz) = -i f(z) \]

(به جای

\[ i f(z) \]

).

نگاشت های نیم خطی در نظریه ی اعداد و هندسه جبری برای مطالعه ی ساختارهای روی میدان های با خودریختی (مانند میدان های متناهی و توسیع های گالوا) به کار می روند. در نظریه ی نمایش، نمایش های نیم خطی (semilinear representations) نیز بررسی می شوند.

در فیزیک، تقارن های CP (تقارن بار-پاریته) و سایر تقارن های گسسته ممکن است با نگاشت های نیم خطی (پادخطی) در فضای هیلبرت مدل سازی شوند. عملگر پادیکانی (antiunitary operator) در مکانیک کوانتومی یک نگاشت نیم خطی است (خطی با مزدوج گیری).

در آنالیز تابعی، عملگرهای پادخطی (antilinear) نیز نوعی نگاشت نیم خطی هستند (با خودریختی مزدوج گیری). آن ها در نظریه ی دوگان و فضاهای هیلبرت مختلط اهمیت دارند.

\[ f(\alpha v) = \sigma(\alpha) f(v) \quad,\quad f(u+v)=f(u)+f(v) \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

با

\[ f(z)=\bar{z} \]

یک نگاشت نیم خطی با

\[ \sigma(z)=\bar{z} \]

است.

\[ f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n \]

با

\[ f(z_1,\dots,z_n)=(\bar{z}_1,\dots,\bar{z}_n) \]

نیز نیم خطی است.