نگاشت پیمانه ای (Modular Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پیمانه ای (Modular Map) :
در ریاضیات، اصطلاح «نگاشت پیمانه ای» (modular map) بسته به زمینه معانی مختلفی دارد. در نظریه ی اعداد و نظریه ی گروه ها، یک نگاشت پیمانه ای ممکن است به یک همومورفیسم از یک گروه به گروه خطی عام (general linear group) روی یک میدان با مشخصه مثبت اشاره داشته باشد که با نمایش های پیمانه ای (modular representations) مرتبط است.
در نظریه ی عملگرها و جبرهای عملگری، یک نگاشت پیمانه ای (modular map) با نظریه ی مدولار (modular theory) توما-تاکساکی (Takesaki) مرتبط است. این نظریه با عملگرهای الحاقی و مشتق های شعاعی (Radon-Nikodym derivatives) در جبرهای فون نویمان سروکار دارد. در این زمینه، نگاشت مدولار (modular automorphism) یک گروه یک پارامتری از خودریختی های جبر است که با حالت (state) خاصی مرتبط می باشد.
در نظریه ی گروه های کوانتومی، یک نگاشت پیمانه ای ممکن است به ساختار پیمانه ای (modular structure) در جبرهای هاپف اشاره داشته باشد که با ماتریس های R و معادله ی یانگ-بکستر (Yang-Baxter) مرتبط است.
در فیزیک، نگاشت های پیمانه ای (modular maps) در نظریه ی میدان های همدیس (CFT) برای توصیف تقارن های مدولار روی چنبره (torus) به کار می روند. این نگاشت ها با گروه مدولار
\[ SL(2,\mathbb{Z}) \]و توابع تتا (theta functions) ارتباط دارند.
در نظریه ی اعداد، فرم های مدولار (modular forms) توابعی روی نیم صفحه ی بالایی هستند که تحت عمل گروه مدولار
\[ SL(2,\mathbb{Z}) \]به شکل خاصی تبدیل می شوند. این توابع نقش مهمی در قضیه ی فرما و نظریه ی اعداد مدرن دارند.
\[ \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{Z}) \quad,\quad f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z) \]✏️ مثال: تابع ژاکوبی تتا (Jacobi theta function) یک فرم مدولار است. در نظریه ی جبرهای فون نویمان، گروه مدولار
\[ \sigma_t^\phi \]یک گروه یک پارامتری از خودریختی هاست.
