نگاشت متقارن (در جبر) (Symmetric Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت متقارن (در جبر) (Symmetric Map) :

یک نگاشت چندخطی

\[ f:V\times\cdots\times V\to W \]

متقارن (symmetric) نامیده می شود اگر با جابجایی هر دو مؤلفه، مقدار آن تغییر نکند. یعنی

\[ f(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_k) = f(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_k) \]

برای هر

\[ i\neq j \]

.

مثال های مهم: ضرب داخلی (inner product) یک فرم دوخطی متقارن است. همچنین فرم های kvadratik (quadratic forms) با فرم های دوخطی متقارن متناظرند (در مشخصه مخالف ۲). در فیزیک، تانسور اینرسی (moment of inertia) و تانسور متریک (metric tensor) متقارن هستند.

در هندسه ریمانی، متریک

\[ g \]

یک نگاشت دوخطی متقارن روی فضای مماس است. در آنالیز تابعی، ضرب داخلی در فضای هیلبرت یک فرم متقارن (و مثبت معین) است.

نگاشت های متقارن با توان متقارن (symmetric power)

\[ \text{Sym}^k V \]

مرتبط هستند. فضای نگاشت های چندخطی متقارن از

\[ V\times\cdots\times V \]

به

\[ F \]

(میدان) با دوگان

\[ \text{Sym}^k V \]

یکریخت است.

در نظریه ی نمایش، نگاشت های متقارن در نمایش های تانسوری و چندجمله ای های متقارن (symmetric polynomials) ظاهر می شوند. چندجمله ای های متقارن (مانند چندجمله ای های ابتدایی و کامل) تحت جابجایی متغیرها ناوردا هستند.

\[ f(\dots,v_i,\dots,v_j,\dots) = f(\dots,v_j,\dots,v_i,\dots) \]

✏️ مثال: ضرب داخلی

\[ \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2 \]

متقارن است.

\[ f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2 \]

یک فرم دوخطی متقارن است.

\[ g(x,y)=x_1y_2+x_2y_1 \]

نیز متقارن است.