نگاشت پادمتقارن (در جبر) (Antisymmetric Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت پادمتقارن (در جبر) (Antisymmetric Map) :

یک نگاشت چندخطی

\[ f:V\times\cdots\times V\to W \]

پادمتقارن (antisymmetric) نامیده می شود اگر با جابجایی هر دو مؤلفه، علامت آن تغییر کند. یعنی

\[ f(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_k) = -f(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_k) \]

برای هر

\[ i\neq j \]

. در میدان هایی با مشخصه مخالف ۲، پادمتقارنی معادل متناوب بودن (alternating) است.

مثال های مهم: فرم سیمپلکتیک (symplectic form) یک نگاشت دوخطی پادمتقارن و ناتکین است. ضرب خارجی (cross product) در

\[ \mathbb{R}^3 \]

یک نگاشت دوخطی پادمتقارن است. همچنین براکت لی (Lie bracket)

\[ [X,Y] \]

یک نگاشت دوخطی پادمتقارن روی جبر لی است.

در هندسه دیفرانسیل، فرم های دیفرانسیلی پادمتقارن هستند. در جبر خطی، ماتریس های پادمتقارن (skew-symmetric) با

\[ A^T=-A \]

با فرم های دوخطی پادمتقارن متناظرند.

پادمتقارنی نقش مهمی در نظریه ی نمایش و فیزیک دارد. برای مثال، تانسور میدان الکترومغناطیسی

\[ F_{\mu\nu} \]

یک تانسور پادمتقارن است. همچنین در مکانیک کوانتومی، عملگرهای فرمیونی (fermionic) روابط پادجابجایی (anti-commutation) دارند که با پادمتقارنی مرتبط است.

در جبر چندخطی، فضای نگاشت های پادمتقارن با توان خارجی (exterior power)

\[ \bigwedge^k V \]

مرتبط است.

\[ f(\dots,v_i,\dots,v_j,\dots) = -f(\dots,v_j,\dots,v_i,\dots) \]

✏️ مثال: فرم سیمپلکتیک

\[ \omega(u,v)=u_1v_2-u_2v_1 \]

در

\[ \mathbb{R}^2 \]

. ضرب خارجی

\[ u\times v \]

در

\[ \mathbb{R}^3 \]

. براکت لی

\[ [X,Y]=XY-YX \]

در جبر لی.