نگاشت متناوب (Alternating Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت متناوب (Alternating Map) :
یک نگاشت چندخطی
\[ f:V\times\cdots\times V\to W \](k بار) متناوب (alternating) نامیده می شود اگر به ازای هر
\[ v_1,\dots,v_k\in V \]که دو تا از آن ها برابر باشند،
\[ f(v_1,\dots,v_k)=0 \]. به عبارت دیگر، اگر
\[ v_i=v_j \]برای
\[ i\neq j \]، آن گاه مقدار نگاشت صفر است. برای میدان هایی با مشخصه مخالف ۲، این شرط معادل پادمتقارنی (antisymmetry) است:
\[ f \]با جابجایی دو مؤلفه علامت عوض می کند.
مهم ترین مثال از نگاشت متناوب، دترمینان (determinant) است. دترمینان یک ماتریس
\[ n\times n \]را می توان به عنوان یک نگاشت
\[ n \]-خطی متناوب روی بردارهای ستونی (یا ردیفی) در نظر گرفت.
در هندسه دیفرانسیل، فرم های دیفرانسیلی (differential forms) نگاشت های چندخطی متناوب روی فضای مماس هستند. برای مثال، یک ۲-فرم
\[ \omega \]یک نگاشت دوخطی متناوب روی
\[ T_pM \]است. ضرب خارجی (wedge product) دو فرم دیفرانسیلی نیز یک عملیات متناوب است.
نگاشت های متناوب برای تعریف جبر خارجی (exterior algebra)
\[ \bigwedge V \]استفاده می شوند. این جبر توسط خاصیت جهانی مشابهی مشخص می شود: هر نگاشت چندخطی متناوب از
\[ V\times\cdots\times V \]به
\[ W \]به طور یکتا از یک نگاشت خطی روی
\[ \bigwedge^k V \]عبور می کند.
در فیزیک، فرم های دیفرانسیلی در الکترومغناطیس (تانسور میدان
\[ F \]) و نسبیت عام کاربرد دارند.
\[ f(v_1,\dots,v_k)=0 \quad \text{if } v_i=v_j \text{ for some } i\neq j \]✏️ مثال: دترمینان یک نگاشت متناوب است. ضرب خارجی در
\[ \mathbb{R}^3 \]،
\[ (u,v)\mapsto u\times v \]، یک نگاشت دوخطی متناوب (و پادمتقارن) است.
