نگاشت چندخطی (Multilinear Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت چندخطی (Multilinear Map) :

یک نگاشت چندخطی (multilinear map) تعمیم نگاشت دوخطی به بیش از دو آرگومان است. اگر

\[ V_1,\dots,V_k \]

و

\[ W \]

فضاهای برداری روی یک میدان

\[ F \]

باشند، یک نگاشت

\[ f:V_1\times\cdots\times V_k\to W \]

چندخطی نامیده می شود اگر در هر مؤلفه به طور جداگانه خطی باشد: برای هر

\[ i \]

،

\[ f(v_1,\dots,\alpha v_i + \beta v'_i,\dots,v_k) = \alpha f(v_1,\dots,v_i,\dots,v_k) + \beta f(v_1,\dots,v'_i,\dots,v_k) \]

مثال های مهم: دترمینان (determinant) یک نگاشت

\[ k \]

-خطی پادمتقارن از

\[ V\times\cdots\times V \]

(k بار) به میدان پایه است. همچنین تانسورها (tensors) به عنوان نگاشت های چندخطی روی فضای دوگان تعریف می شوند.

نگاشت های چندخطی نقش اساسی در جبر چندخطی (multilinear algebra) دارند. حاصلضرب تانسوری

\[ V_1\otimes\cdots\otimes V_k \]

با خاصیت جهانی مشابهی تعریف می شود: هر نگاشت چندخطی از

\[ V_1\times\cdots\times V_k \]

به

\[ W \]

به طور یکتا از یک نگاشت خطی روی حاصلضرب تانسوری عبور می کند.

در هندسه دیفرانسیل، انحنای ریمانی یک نگاشت چندخطی (چهارخطی) روی فضای مماس است. در فیزیک، تانسورهای تنش-انرژی (stress-energy tensor) و تانسور میدان الکترومغناطیسی نگاشت های چندخطی هستند.

در نظریه ی نمایش، نگاشت های چندخطی بین فضاهای نمایش برای ساخت نمایش های تانسوری استفاده می شوند.

\[ f: V_1\times\cdots\times V_k \to W \quad,\quad \text{خطی در هر مؤلفه} \]

✏️ مثال: دترمینان

\[ \det: \mathbb{R}^n\times\cdots\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \]

(n بار) یک نگاشت

\[ n \]

-خطی است. ضرب سه تایی (triple product)

\[ (u,v,w)\mapsto u\cdot(v\times w) \]

در

\[ \mathbb{R}^3 \]

یک نگاشت سه خطی است.