نگاشت خطی دو-خطی (Bilinear Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت خطی دو-خطی (Bilinear Map) :

یک نگاشت دوخطی (bilinear map) یک تابع

\[ B:U\times V\to W \]

است که در هر آرگومان به طور جداگانه خطی است. به این معنی که برای هر

\[ u_1,u_2\in U \]

,

\[ v_1,v_2\in V \]

و اسکالرهای

\[ \alpha,\beta \]

:

\[ B(\alpha u_1+\beta u_2, v) = \alpha B(u_1,v) + \beta B(u_2,v) \] \[ B(u, \alpha v_1+\beta v_2) = \alpha B(u,v_1) + \beta B(u,v_2) \]

اما

\[ B \]

به طور کلی روی هر دو آرگومان هم زمان خطی نیست (یعنی

\[ B(\alpha u,\beta v)\neq \alpha\beta B(u,v) \]

معمولا؟ بله چون دوخطی است).

مهم ترین مثال های نگاشت دوخطی عبارتند از: ضرب داخلی (inner product) در فضاهای برداری، ضرب ماتریس ها (به عنوان یک نگاشت از

\[ M_{m\times n}\times M_{n\times p}\to M_{m\times p} \]

)، و ضرب در جبرها (مانند

\[ A\times A\to A \]

).

نگاشت های دوخطی برای تعریف حاصلضرب تانسوری (tensor product) اساسی هستند. حاصلضرب تانسوری

\[ U\otimes V \]

با خاصیت جهانی مشخص می شود: هر نگاشت دوخطی

\[ B:U\times V\to W \]

به طور یکتا از یک نگاشت خطی

\[ \tilde{B}:U\otimes V\to W \]

عبور می کند.

در هندسه دیفرانسیل، متریک ریمانی یک نگاشت دوخطی متقارن روی فضای مماس است. فرم سیمپلکتیک نیز یک نگاشت دوخطی پادمتقارن و ناتکین است.

در فیزیک، نگاشت های دوخطی در تانسورها و نظریه ی میدان ظاهر می شوند. برای مثال، تانسور اینرسی (moment of inertia) یک نگاشت دوخطی است.

\[ B: U\times V \to W \quad,\quad B(\alpha u_1+\beta u_2, v) = \alpha B(u_1,v) + \beta B(u_2,v) \]

✏️ مثال: ضرب داخلی

\[ \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \]

، ضرب ماتریس ها، و ضرب خارجی (cross product) در

\[ \mathbb{R}^3 \]

(که دوخطی و پادمتقارن است).