نگاشت تابعی (در جبر) (Functional)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تابعی (در جبر) (Functional) :

در جبر خطی و آنالیز تابعی، یک تابعی (functional) یک نگاشت خطی از یک فضای برداری به میدان پایه آن است. به طور دقیق، اگر

\[ V \]

یک فضای برداری روی میدان

\[ F \]

باشد، یک تابعی خطی (linear functional) یک نگاشت خطی

\[ f:V\to F \]

است. مجموعه ی همه ی تابعی های خطی روی

\[ V \]

، فضای دوگان (dual space)

\[ V^* \]

را تشکیل می دهد.

در فضای با بعد متناهی، هر تابعی خطی را می توان با ضرب داخلی با یک بردار نشان داد (قضیه ی نمایش ریز). در فضاهای با بعد نامتناهی (مانند فضاهای هیلبرت)، تابعی های خطی کراندار (bounded linear functionals) توسط قضیه ی نمایش ریز-فریشه (Riesz-Fréchet) با بردارها متناظرند.

تابعی ها در آنالیز تابعی برای تعریف دوگان فضاها، مطالعه ی همگرایی ضعیف، و در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (به عنوان توزیع ها) به کار می روند. تابعی دیراک (delta functional) یک تابعی خطی روی فضای توابع است که مقدار تابع در یک نقطه را برمی گرداند.

در نظریه ی اعداد، تابعی های خطی روی فضاهای اعداد جبری یا فضاهای تابعی ممکن است ظاهر شوند. همچنین در فیزیک، تابعی ها در مکانیک لاگرانژی (عمل انتگرال) و مکانیک کوانتومی (انتظاری) نقش اساسی دارند.

اگر فضای برداری مجهز به ساختار اضافی (مانند جبر) باشد، تابعی ها ممکن است شرایط اضافی مانند ضربی بودن (multiplicative) یا مشتق بودن (derivation) را داشته باشند.

\[ f: V \to F \quad,\quad f(\alpha v + \beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w) \]

✏️ مثال: روی

\[ \mathbb{R}^n \]

،

\[ f(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n \]

یک تابعی خطی است. روی فضای توابع پیوسته

\[ C([0,1]) \]

،

\[ f(g)=\int_0^1 g(x)dx \]

یک تابعی خطی است.