نگاشت یکه هم ضرب (Counit Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یکه هم ضرب (Counit Map) :

در نظریه ی هم جبرها (coalgebras)، یکه هم ضرب (counit) یک نگاشت خطی

\[ \epsilon: C \to k \]

(به میدان پایه) است که با هم ضرب

\[ \Delta \]

سازگار است و نقش دوگان یکه (unit) در جبرها را بازی می کند. یکه هم ضرب باید اتحادهای زیر را ارضا کند:

\[ (\epsilon \otimes id)\circ \Delta = id \]

و

\[ (id \otimes \epsilon)\circ \Delta = id \]

(پس از یکسان سازی

\[ k\otimes C\cong C \]

و

\[ C\otimes k\cong C \]

).

این شرایط بیان می کنند که اگر یک عنصر را با هم ضرب بشکافیم و سپس یک طرف را با یکه هم ضرب به اسکالر تبدیل کنیم، عنصر اصلی را بازمی یابیم. در جبرهای هاپف، یکه هم ضرب با یکه (unit) و پادپاد (antipode) هماهنگ است.

در نظریه ی گروه های کوانتومی، یکه هم ضرب روی جبر توابع روی یک گروه، ارزیابی در عنصر همانی است:

\[ \epsilon(f)=f(e) \]

. این نگاشت در تعریف ساختار دوگانه و نمایش ها نقش دارد.

در فیزیک، یکه هم ضرب ممکن است برای توصیف حالت خلأ (vacuum state) یا رد (trace) در نظریه ی میدان به کار رود. همچنین در ترکیبیات و نظریه ی گراف، یکه هم ضرب روی جبرهای گرافی (graph algebras) تعریف می شود.

همراه با هم ضرب، یکه هم ضرب ساختار یک هم جبر (coalgebra) را کامل می کند. دوگان (dual) این مفاهیم، جبر (algebra) با ضرب و یکه است.

\[ \epsilon: C \to k \quad,\quad (\epsilon \otimes id)\Delta = id \quad,\quad (id \otimes \epsilon)\Delta = id \]

✏️ مثال: روی جبر گروهی

\[ k[G] \]

با

\[ \Delta(g)=g\otimes g \]

، یکه هم ضرب

\[ \epsilon(g)=1 \]

برای همه

\[ g\in G \]

. روی جبر توابع

\[ F(G) \]

،

\[ \epsilon(f)=f(e) \]

.