نگاشت هم ضرب (Comultiplication Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هم ضرب (Comultiplication Map) :

در نظریه ی جبرهای هم جبر (coalgebras) و نظریه ی گروه های کوانتومی، هم ضرب (comultiplication) یک نگاشت خطی

\[ \Delta: C \to C\otimes C \]

است که دوگان (dual) ضرب در جبرهاست. این نگاشت باید هم جمع پذیر (coassociative) باشد، یعنی

\[ (\Delta \otimes id)\circ \Delta = (id \otimes \Delta)\circ \Delta \]

(پس از یکسان سازی های طبیعی).

اگر

\[ C \]

یک جبر هم (coalgebra) روی یک میدان

\[ k \]

باشد، هم ضرب نحوه ی «شکافتن» یک عنصر را توصیف می کند. این مفهوم در دوگان با ضرب در جبرهاست: در جبرها ضرب دو عنصر را به یکی تبدیل می کند، در هم جبرها یک عنصر را به دو عنصر (به صورت یک مجموع از تانسورها) تبدیل می کند.

در نظریه ی گروه های کوانتومی (جبرهای هاپف)، هم ضرب نقش مهمی در تعریف ساختار گروهی روی طیف (spectrum) جبر دارد. برای مثال، روی جبر توابع روی یک گروه، هم ضرب

\[ \Delta(f)(g,h)=f(gh) \]

است.

هم ضرب همچنین در ترکیبیات و نظریه ی نمایش برای ساختن نمایش های تانسوری و در فیزیک برای توصیف فرآیندهای کوانتومی به کار می رود. در نظریه ی رسته های یکنواخت (monoidal categories)، هم ضرب یک ساختار هم جبری را تعریف می کند.

در ریاضیات، هم ضرب و ضرب با هم ساختار دوگانه ای (bialgebra) را تشکیل می دهند. جبرهای هاپف (Hopf algebras) دارای ضرب، هم ضرب، یکه، هم یکه و پادپاد (antipode) هستند.

\[ \Delta: C \to C\otimes C \quad,\quad (\Delta \otimes id)\Delta = (id \otimes \Delta)\Delta \]

✏️ مثال: روی جبر گروهی

\[ k[G] \]

برای یک گروه

\[ G \]

، هم ضرب

\[ \Delta(g)=g\otimes g \]

(برای

\[ g\in G \]

) یک ساختار هم جبری تعریف می کند. روی جبر توابع

\[ F(G) \]

،

\[ \Delta(f)(x,y)=f(xy) \]

.