نگاشت یکه (Unit Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یکه (Unit Map) :

در نظریه ی رسته ها و جبر، نگاشت یکه (unit map) یک مورفیسم است که عنصر همانی (یا واحد) یک ساختار یکنواخت را مشخص می کند. در یک رسته ی یکنواخت (monoidal category) با شیء یکه

\[ I \]

(شیء همانی)، برای یک شیء یکنواخت (monoid object)

\[ (M,\mu,\eta) \]

، نگاشت یکه

\[ \eta: I\to M \]

است که با ضرب

\[ \mu:M\otimes M\to M \]

سازگار است و اتحادهای یکه (unit laws) را ارضا می کند:

\[ \mu\circ (\eta\otimes id_M) = id_M \]

و

\[ \mu\circ (id_M\otimes \eta)=id_M \]

(پس از یکسان سازی های طبیعی).

در جبر، برای یک جبر

\[ A \]

روی یک میدان

\[ k \]

، نگاشت یکه

\[ \eta:k\to A \]

به صورت

\[ \eta(\lambda)=\lambda\cdot 1_A \]

تعریف می شود که

\[ 1_A \]

عنصر همانی ضرب است. این نگاشت یک همریختی جبری (unital algebra homomorphism) است.

در نظریه ی گروه ها، نگاشت یکه

\[ \eta:\{*\}\to G \]

نقطه ای از گروه را به عنوان عنصر همانی انتخاب می کند. در رسته ی مجموعه ها،

\[ \{*\} \]

شیء پایانی (terminal object) است.

در نظریه ی رسته های بسته (closed categories)، نگاشت یکه همراه با هم نهشتی و تحلیلی، ساختار دوگانی را تکمیل می کند. در یک رسته ی فشرده (compact closed category)، اشیاء دوگانی (dual objects) با این نگاشت ها تعریف می شوند.

در فیزیک، نگاشت یکه در نظریه ی میدان های توپولوژیکی برای تعریف فضای حالت خلأ (vacuum state) به کار می رود.

\[ \eta: I \to M \quad,\quad \eta(\lambda)=\lambda\cdot 1_A \quad,\quad \mu\circ (\eta\otimes id_M) = id_M \]

✏️ مثال: برای جبر

\[ M_n(\mathbb{R}) \]

،

\[ \eta:\mathbb{R}\to M_n \]

با

\[ \eta(\lambda)=\lambda I_n \]

. برای یک گروه

\[ G \]

،

\[ \eta:\{*\}\to G \]

با

\[ \eta(*)=e \]

(عنصر همانی).