نگاشت ضرب (Multiplication Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت ضرب (Multiplication Map) :
در جبر، نگاشت ضرب (multiplication map) عملی است که دو عنصر را گرفته و حاصلضرب آن ها را برمی گرداند. در یک ساختار جبری مانند گروه، حلقه، یا جبر، این نگاشت به صورت
\[ m:G\times G\to G \]با
\[ m(g,h)=gh \]تعریف می شود. در جبرهای شرکت پذیر، این نگاشت شرکت پذیر است:
\[ m(m(g,h),k)=m(g,m(h,k)) \].
در نظریه ی گروه های لی، ضرب یک نگاشت هموار (smooth) بین منیفلدهاست که گروه لی را به یک گروه توپولوژیکی تبدیل می کند. مشتق این نگاشت در عنصر همانی، براکت لی روی جبر لی را القا می کند.
در نظریه ی رسته ها، برای یک شیء یکنواخت (monoid object) در یک رسته ی یکنواخت (monoidal category)، یک نگاشت ضرب
\[ \mu: M\otimes M\to M \]وجود دارد که همراه با نگاشت یکه (unit)، ساختار یکنواخت را تعریف می کنند.
در جبر همولوژی، نگاشت ضرب در کوهمولوژی حلقه ها (مانند ضرب cup) ساختار حلقه ای روی کوهمولوژی ایجاد می کند.
در فیزیک، ضرب ماتریس ها و عملگرها در مکانیک کوانتومی و نظریه ی میدان اهمیت دارد. همچنین در نظریه ی گروه های کوانتومی، ضرب (coproduct) دوگان دارد.
\[ m: G\times G \to G \quad,\quad m(g,h)=gh \quad,\quad \mu: M\otimes M\to M \]✏️ مثال: ضرب اعداد حقیقی
\[ m:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]، ضرب ماتریس ها
\[ m: \text{Mat}_n\times \text{Mat}_n\to \text{Mat}_n \](که فقط روی زیرمجموعه ای تعریف می شود زیرا باید ابعاد سازگار باشند).
